Nociones Geométricas

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Capítulo 1




Capítulo 2




Capítulo 3




Capítulo 4




Capítulo 5




Capítulo 6




Capítulo 7




Capítulo 8




Capítulo 9

Acertijos que valen un millón de dólares

El Instituto Clay eligió en el 2000 los ‘Siete Problemas del Milenio’. La resolución de cada uno se premiará con un millón de dólares.

1. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Relacionada con el último teorema de Fermat, se pregunta “en qué condiciones el número de puntos racionales sobre una curva elíptica es finito”. Bebe de la obra de Grothendieck.

2. Conjetura de Hodge
Es el más técnico. Tras corregir Grothendieck una primera versión, dice que “en una variedad algebraica proyectiva todo ciclo de Hodge es combinación lineal racional de ciclos algebraicos”.

3. Ecuaciones de Navier-Stokes
Describen el movimiento de los fluidos. Consiste en “demostrar que para ciertas condiciones iniciales, existen soluciones suaves globalmente definidas”.

4. P versus NP

Plantea la posibilidad de que “todo algoritmo de complejidad exponencial pueda reducirse a un algoritmo en tiempo polinomial”. Lo intenta resolver el protagonista de la serie ‘Numb3rs’ en las pizarras de su garaje.

5. Conjetura de Poincaré
Es el único resuelto. El ruso Grigori Perelman demostró en 2003 que “toda variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera”.

6. Hipótesis de Riemann
El más codiciado. Conjetura que “todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann caen sobre la misma recta vertical”.

7. Ecuaciones de Yang-Mills
Generalizan la teoría electromagnética de Maxwell y unifican las fuerzas de la naturaleza. El Instituto Clay propone desarrollar el aparato matemático necesario para comprenderlas.

Cerebros fuera de serie

Sir Isaac Newton, el último mago

El personaje que comparte con Charles Darwin el máximo escalafón de la ciencia británica puede ser considerado el santo patrón de los matemáticos excéntricos. Sir Isaac Newton (Lincolnshire, 1643-Middlesex, 1727) prodigó sus trabajos en física, astronomía, teología, filosofía y matemáticas, disciplina en la que desarrolló, al mismo tiempo que Leibniz, el cálculo diferencial e integral, entre otras grandes aportaciones.
Pero para el economista John Keynes, Newton fue “el último de los magos”. Sus trabajos sobre ocultismo abordaron la alquimia, las profecías reveladas en la Biblia –predijo el fin del mundo para 2060–, el esoterismo, las sociedades secretas o la Atlántida.

Alan Turing, ‘hacker’ y mártir gay

En la década de 1950, la homosexualidad aún era un delito en el Reino Unido. Este prejuicio convirtió al precursor de la computación moderna en un excéntrico contra su voluntad. Alan Turing (Londres, 1912-Cheshire, 1954) ideó el test para validar la inteligencia artificial.
Durante la Segunda Guerra Mundial trabajó en Bletchley Park, el centro de criptografía del Reino Unido. Cuando se le requería para una reunión en Londres, corría 40 kilómetros hasta la ciudad. Su homosexualidad le costó el despido y cargos criminales.
Murió tras comer una manzana envenenada con cianuro, pero aún se discute si fue un suicidio teatral –’Blancanieves’ era su cuento favorito– o un asesinato.

John Nash, el Nobel alucinado
La figura de John Forbes Nash (Bluefield, EEUU, 1928) captó la atención del público a raíz de su biografía llevada al cine en ‘Una mente maravillosa’, ganadora de cuatro Oscars.

En la película, Russell Crowe interpretaba a este experto en teoría de juegos que ha luchado durante gran parte de su vida contra personajes imaginarios surgidos de su esquizofrenia paranoide. En el campo científico, desde su puesto en la Universidad de Princeton ha desarrollado aportaciones geniales que cubren desde la matemática pura a la estrategia militar, pasando por la informática o la teoría económica. En 1994 ganó el premio Nobel de Economía.

Grigori Perelman, el huraño
El ruso Grigori Perelman (Leningrado, 1966) resolvió la Conjetura de Poincaré, un problema propuesto en 1904 y que se resistió al asedio de los matemáticos durante casi un siglo. Perelman es un gran ego científico envuelto en una extrema austeridad personal. En una ocasión se negó a entregar un currículum porque juzgaba que su trabajo ya era suficientemente conocido. En 2006 rechazó la medalla Fields, el Nobel de las matemáticas, además de otros galardones y cargos de prestigio en universidades de EEUU. Vive con su madre en un humilde piso en San Petersburgo y ha dejado su puesto en el Instituto Steklov. Según algunas fuentes, ha abandonado las matemáticas.

Paul Erdös, el ‘homeless’ errante
El húngaro Paul Erdös (Budapest, 1913-Varsovia, 1996) careció de residencia durante 50 años. Cuentan sus biógrafos que se presentaba por sorpresa en casa de algún colega con una frase –”¡Mi cerebro está abierto!”– y una maleta que contenía todas sus posesiones.
Allí se dedicaba, en colaboración con su anfitrión, a escribir trabajos sobre combinatoria o teoría de números, hasta que llegaba el momento de marcharse para llamar a otra puerta. Creía en un dios al que llamaba el Fascista Supremo, porque guardaba para sí las demostraciones más bellas de los teoremas, reunidas en lo que Erdös llamaba ‘El Libro’. Adicto a las anfetaminas, donó la mayoría de sus premios a los necesitados.

Kurt Gödel, el muerto de hambre
En el elenco de científicos que han destacado por sus manías, pocos lo han llevado tan lejos como Kurt Gödel (Brno, 1906-Princeton, 1978). Nacido en la antigua Austria-Hungría, trabajó en Viena y viajó a EEUU, donde trabó amistad con Einstein. Huyó de la Alemania nazi para establecerse en la Universidad de Princeton.
Sus trabajos en teoría de conjuntos y lógica influyeron en matemáticos y filósofos. En sus últimos años no comía nada que no hubiese catado su mujer, Adele, por miedo a ser envenenado. Cuando ella no pudo hacerlo por ingresar en un hospital, Gödel dejó de comer. En el momento de su muerte por inanición, pesaba 30 kilos.

Escher y las matemáticas

Escher fue un artista inusual, decidido a resolver problemas que parecían interesar más a los matemáticos que a los artistas. Tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano al arte, de mostrar como nunca antes se había visto que una superficie bidimensional es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad. Escher luchó para encontrar un mecanismo que permitiese dar la impresión de un espacio sin límites, de mundos que se transforman en otros, o en otros. Incluso podemos llegar a creer que una transformación es de lo más normal y creíble, pero cuando sucede otra a la primera y observamos el punto inicial vemos que es del todo imposible, a pesar de la sensación de normalidad que nos transmite.

Si nos introducimos en uno de sus diseños, lo cual es sumamente fácil, acabamos de entrar en otro mundo, donde todos nuestros sólidos principios son puestos en duda y sustituidos por una serie de nuevas leyes y extraños principios geométricos.

Pero no es por esto exclusivamente por lo que sus trabajos apasionan a muchos matemáticos, sino también porque en ellos subyacen una serie de conceptos matemáticos como reflexiones, simetrías, traslaciones, cuerpos platónicos, el infinito, cintas de Möebius, geometría hiperbólica, etc... Y sin embargo Escher se consideraba un lego en matemáticas.

Fuente: Jose María Alfaro Roca

Los códigos del algebrista

Contestar a la pregunta casual "¿Ud. a qué se dedica?" suele plantear problemas a cualquier científico, si quiere ser breve y preciso. La más obvia de las respuestas suele apelar al diccionario; pero, en el caso del álgebra, conduce a sorpresas. La segunda acepción de algebrista, aunque la RAE la marca como desusada, dice "cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos".

Así la utilizaba Cervantes en 1615: “… llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curo el Sansón desgraciado” (Quijote II, Cáp. XV). Pero también en La madre naturaleza de 1887, Emilia Pardo Bazán relata que muchos “ejercían la profesión de algebristas, componiendo con singular destreza canillas rotas y húmeros desvencijados, reduciendo luxaciones y extirpando sarcomas”, destacando al “atador de Boán, que tenía fama de poner la ceniza en la frente a los médicos de Orense y Santiago, habiendo persona que vino expresamente desde Madrid, cuando todavía se viajaba en diligencia, a que el señor Antón le curase una fractura”. Claro que es más sorprendente la tercera acepción, reputada de germanía, alcahuete, que remite a Quevedo describiendo a la madre del Buscón, llamado don Pablos como “algebrista de voluntades desconcertadas, […] y por mal nombre alcagüeta”. Y todo ello, incluido el significado matemático que en castellano se alcanza en 1726, procede de una palabra árabe originada en Bagdad.

El matemático Muhammad ibn Musa al–Khwarizmi (ca 780-850), originario de la actual Khiva (Uzbekistán), describe, en su tratado Hisab al-yabr wa´l-muqabala como resolver ecuaciones de primero y segundo grado, trasponiendo un término negativo de un lado de la ecuación al otro lado como positivo, al-yabr, y retirando los términos iguales a ambos lados, al-muqabala. Gracias a la traducción de Robert de Chester, en Segovia el año 1145, como Liber álgebra et almuchabala, se introduce en Occidente el término álgebra, que continuaría siendo, hasta mediados del XIX, la ciencia de las ecuaciones. El termino yabr, “reducir, restablecer”, proporcionó al español, el italiano y el inglés, una acepción: arte de recomponer los huesos dislocados; y de ahí el calificativo de algebristas que empleaban los barberos medievales y la metáfora de Quevedo.

Sólo en los años 50 del pasado siglo, el grupo Bourbaki declaraba: “actualmente consideramos como el problema esencial del Álgebra el estudio de las estructuras algebraicas, por sí mismas”. Esa concepción se fue imponiendo, aumentando el nivel de abstracción hasta alcanzar incluso lo que irónicamente se llegó a denominar “abstract non-sense”. De hecho se ha dicho que son “los Picassos de las matemáticas la geometría algebraica y teoría de categorías -áreas que llevan la abstracción en matemáticas al extremo”. Pero una vez más, la irracional eficacia de las matemáticas abstractas ha producido que se empleen en lenguajes de programación, en codificación de datos y en criptografía. Si la ruptura de códigos criptográficos condujo al ordenador digital, las necesidad de códigos seguros ha impulsado fuertemente el álgebra. Pero como describía el inventor del ciberespacio, William Gibson, “eso no es más que un subproducto de lo que sea que hace con sus teorías. [El matemático] parece considerar enormemente cómico que pueda tener alguna aplicación práctica” (Pattern Recognition, 2004).

Cuando se cumplen 30 años del primer uso en España del código de barras, es poco conocido que el último dígito de cada uno de ellos es un cálculo algebraico que asegura su corrección, de modo análogo a los dígitos de control (D.C.) que incluyen los números de cuentas bancarias. Y al igual que el Código Cuenta Cliente (C.C.C.) permite detectar e incluso corregir algún error, en ocasiones de los códigos de barras se puede extraer información inesperada. El dibujante Andrés Rábago García, El Roto, publicó el día 1/noviembre/2006 una viñeta en la que, en un marco de cipreses, aparece una tumba sin nombre pero con un nítido código de barras. La irónica reflexión sugerida va desde la pérdida de identidad personal por la moderna tecnología a la mercantilización de la actividad funeraria. Prestando atención al código de barras, bajo las 30 barras leemos el número 978053319061; la verificación algebraica asegura que es un código EAN correcto, que corresponde a un libro en inglés. En esa “alucinación consensuada”, el ciberespacio, “donde no hay un donde” cualquiera encuentra inmediatamente la referencia completa: Art of the Japanese Postcard de J. Thomas Rimer, Kendall H. Brown y Anne Nishimura Morse, publicado por Lund Humphries en 2005. Es coherente que entre las lecturas de un artista gráfico se encuentre ese libro; e incluso que en su subconsciente se fije ese código que traslada a su creación. Más que la polisemia de una viñeta, nos sobrecoge la disponibilidad de datos, aquí intrascendentes, pero en otras ocasiones relevantes respecto a la intimidad personal. Como ya decía William Gibson: “ …somos una economía de información. Te lo enseñan en la escuela. Lo que no te dicen es que es imposible moverse, vivir, actuar a cualquier nivel sin dejar huellas, pedacitos, fragmentos de información en apariencia insignificantes. Fragmentos que pueden ser recuperados, amplificados.” (Burning Chrome,1986). Por eso es necesario comprender el uso y la semiótica de los códigos que nos rodean para poder defender el derecho democrático de la intimidad, sin dejarse engañar por las promesas de mayor seguridad en un mundo convulso. Al menos de forma lateral, los algebristas se dedican también a estudiar y explicar codificación, e incluso a predecir sus consecuencias.

Artículo de José María Barja

Fuente: Ibercampus

Curvas Modulares

En 1955, Yutaka Taniyama conjeturó que toda curva elíptica definida sobre el cuerpo de los números racionales es modular. En 1995, Andrew Wiles demostró el teorema de Fermat probando la modularidad de ciertas curvas elípticas: las semiestables. En 2001, la conjetura de Taniyama ha sido finalmente demostrada.

Uno de los problemas abiertos que centran actualmente los esfuerzos de los investigadores en Teoría de Números y Geometría Aritmética es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la cual asegura que muchos invariantes aritméticos de una curva elíptica se pueden “leer” en el comportamiento de cierta función analítica asociada a la curva en cuestión.

En las técnicas propuestas hasta ahora para abordar la demostración de esta conjetura, la modularidad de las curvas elípticas ha jugado siempre un papel esencial. Se trata, por cierto, de uno de los siete problemas por cuya solución el Instituto Clay ofrece un millón de dólares.

Birch Swinnerton Dyer

Los matemáticos siempre han estado fascinados por el problema de describir todas las soluciones de x,y,z en ecuaciones algebraicas, como Euclides da una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complicadas se convierte en algo extremadamente difícil.

Realmente, en 1970 Yu. V. Matiyasevich demostró que el décimo problema de Hilbert no tiene solución, por ejemplo, no existe un método general para determinar cuando estas ecuaciones tienen una solución en números enteros.
Pero en casos especiales se puede suponer que sí. Cuando las soluciones son de puntos de una variedad abeliana, la conjetura Birch y Swinnerton-Dyer dice que el tamaño del grupo de puntos racionales es relacionado con el comportamiento de la función asociada zeta z(s) cerca del punto s=1.
En particular esta increíble conjetura dice que si z(1) es igual a 0, entonces hay un numero infinito de puntos racionales (soluciones), y en oposición, si z(1) no es igual a 0, entonces hay solo un numero finito de dichos puntos.