En 1955, Yutaka Taniyama conjeturó que toda curva elíptica definida sobre el cuerpo de los números racionales es modular. En 1995, Andrew Wiles demostró el teorema de Fermat probando la modularidad de ciertas curvas elípticas: las semiestables. En 2001, la conjetura de Taniyama ha sido finalmente demostrada.
Uno de los problemas abiertos que centran actualmente los esfuerzos de los investigadores en Teoría de Números y Geometría Aritmética es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la cual asegura que muchos invariantes aritméticos de una curva elíptica se pueden “leer” en el comportamiento de cierta función analítica asociada a la curva en cuestión.
En las técnicas propuestas hasta ahora para abordar la demostración de esta conjetura, la modularidad de las curvas elípticas ha jugado siempre un papel esencial. Se trata, por cierto, de uno de los siete problemas por cuya solución el Instituto Clay ofrece un millón de dólares.
michael? dnd tas?
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