El teorema del índice de Atiyah-Singer

Gran parte de los modelos matemáticos que describen las leyes de la naturaleza vienen formulados en términos de ecuaciones diferenciales. En general, resulta muy difícil, a veces imposible, encontrar soluciones explícitas a una determinada ecuación diferencial, siendo más razonable preguntarse cuántas soluciones existen (suponiendo que exista alguna). Pues bien, el teorema del índice de Atiyah y Singer, aparecido hace más de cuatro décadas y por el que ambos autores han recibido el Premio Abel 2004, da una respuesta a esta pregunta para una clase muy amplia de ecuaciones diferenciales.

El teorema proporciona una fórmula que determina el número de soluciones en función exclusivamente de la topología o forma del espacio en el que el modelo tiene lugar. Se trata de un resultado muy profundo, en el que se combinan ramas de las matemáticas tan diversas y fundamentales como el análisis, la topología y la geometría, contando con un sinnumero de importantes aplicaciones a todas estas disciplinas, y más recientemente a la física cuántica de partículas.

Creado por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII, el análisis matemático se ocupa del estudio de las funciones en un determinado espacio, así como de sus derivadas e integrales. Éstos son los ingredientes esenciales para el estudio de las ecuaciones diferenciales, ecuaciones que establecen relaciones entre las derivadas de una o varias funciones. Las ecuaciones diferenciales proporcionan una potentísima herramienta para describir los fenómenos estudiados por las ciencias naturales, particularmente por la física. Las leyes de Newton de la gravedad, el movimiento de los fluidos, la teoría de la relatividad de Einstein, los diversos modelos del universo y de las interacciones entre partículas elementales, todos vienen descritos mediante ecuaciones diferenciales.

La topología y la geometría son dos disciplinas matemáticas que, como el análisis, son esenciales en el teorema del índice de Atiyah-Singer. La topología de un espacio tiene que ver con la forma de ese espacio en un sentido mas básico y crudo que el de la geometría. Dos espacios tienen la misma topología si uno puede deformarse en el otro -como si de figuras de plastilina se tratase- sin producir agujeros o rasgaduras. Por otro lado, siempre que hablamos de distancias, ángulos, rectas o planos estamos hablando de geometría. Por ejemplo, las superficies de un balón de fútbol y de un balón de rugby son topológicamente indistinguibles, a pesar de ser bien distintas geométricamente, como pone de manifiesto la distinta manera en que se curvan sus respectivas líneas meridianas.

Los aspectos topológicos más relevantes para el teorema del índice tienen más que ver con las propiedades globales de un espacio que con sus propiedades locales, confinadas éstas últimas a un entorno. Un ejemplo de propiedad global lo proporcionan las superficies cerradas, esto es, superficies sin borde, que, como la esfera, pueden encontrarse en el espacio ordinario tridimensional. Resulta que una superficie de este tipo se puede deformar siempre topológicamente a una esfera con un número determinado de asas. Por ejemplo, la superficie de una rosquilla es equivalente a una esfera con un asa. Así pues, el número de asas es una propiedad global que caracteriza a la superficie topológicamente.

El espacio en el que se define un modelo matemático puede ser más o menos complicado, dependiendo del fenómeno que se desea describir, pudiendo tener cualquier dimensión en general. En los modelos físicos, por ejemplo, se puede considerar el espacio-tiempo usual o incluso un espacio-tiempo en el que en cada punto el observador está equipado de un espacio interno adicional que le permite medir determinadas propiedades físicas, como la masa, la carga, o el espín de una partícula.

Por ejemplo, en la teoría de Yang-Mills que describe la física de las partículas elementales, este espacio interno es un objeto algebraico denominado grupo de Lie. Si el grupo considerado es la circunferencia, vista como el grupo de rotaciones de un plano, la teoría de Yang-Mills coincide con el modelo de Maxwell del electromagnetismo, que explica fenómenos naturales como los rayos de las tormentas o los imanes.

Otras fuerzas fundamentales de la naturaleza, relevantes en los fenómenos cuánticos a pequeña escala, son la interacción débil y la interacción fuerte. Estas fuerzas, que tienen lugar en los núcleos de los átomos, y que son responsables en gran medida de la estabilidad de la materia, vienen descritas considerando otros grupos de Lie.

Pues bien, después de estas ideas preliminares, podemos ya enunciar el teorema del índice, aunque sea de un modo aproximado. Supongamos que tenemos un modelo matemático definido por una ecuación diferencial. El índice es esencialmente el número de soluciones de la ecuación. Más precisamente, éste se define como la diferencia entre el numero de parámetros necesarios para describir todas las soluciones y el número de relaciones impuestas por la ecuación diferencial.

Por supuesto, para que esta definición tenga sentido, ambos números deben ser finitos, propiedad que cumplen precisamente las ecuaciones a las que se aplica el teorema -ecuaciones diferenciales lineales elípticas-. La fórmula de Atiyah-Singer expresa el índice en función de determinadas cantidades denominadas clases características, que sólo dependen de la topología del espacio sobre el que está definido el modelo. Por ejemplo, en muchos problemas definidos sobre una superficie cerrada como las descritas anteriormente el índice viene dado en función del número de asas de la superficie (la única clase característica en este caso).

Éste es precisamente el contexto del teorema de Gauss-Bonnet que expresa la curvatura total de una superficie (una noción de naturaleza geométrica) en función del número de asas de la misma, o el teorema de Riemann-Roch que relaciona la teoría de funciones holomorfas sobre una superficie de Riemann (una teoría analítica) con el número de asas de la superficie. Estos son dos importantes teoremas del siglo XIX, entre los muchos resultados que generaliza el teorema de Atiyah-Singer.

Como es lógico imaginar, debido a su profundidad, el teorema del índice no es de fácil demostración. No obstante, a lo largo de los años se han dado varias demostraciones que, junto con las proporcionadas originalmente por Atiyah y Singer, han hecho cada vez más transparente el teorema. Algunas demostraciones son topológicas, otras son de carácter analítico, como la basada en la ecuación de conducción del calor.

Más recientemente se ha dado una demostración basada en la física cuántica, más concretamente, en la noción de supersimetría. Es bien sabido que los principios de simetría son fundamentales en física, por ejemplo las teorías de Yang-Mills, mencionadas anteriormente, gozan de una simetría muy importante: la invariancia gauge, que viene implementada precisamente por el grupo de Lie de la teoría. En los últimos años los físicos han descubierto otra simetría que la teoría debe satisfacer. Esta simetría, denominada supersimetría, intercambia bosones (partículas con espín entero, como los fotones) con fermiones (partículas con espín semientero, como los electrones).

Algunas de las recientes aplicaciones del teorema del índice vienen marcadas por esta importante conexión con la física. Entre éstas cabe mencionar el estudio de las anomalías de una teoría cuántica (la violación de determinadas simetrías de la teoría clásica al pasar a la teoría cuántica), o el intento de caracterización topológica de espacios de dimensión cuatro (la dimensión del espacio-tiempo de la física) utilizando el espacio de soluciones (instantones) de la ecuación de Yang-Mills definidas sobre el espacio original.

En conclusión, el teorema del índice no sólo ha cambiado el panorama de las matemáticas de las últimas décadas sino que además ha contribuido de manera muy especial al establecimiento de importantes y profundas conexiones entre diversas ramas de las matemáticas -particularmente la geometría y la topología-, así como de la física cuántica. Atiyah y Singer son sin lugar a dudas dos de los máximos responsables de esta rica y fructífera interacción, no sólo por el teorema del índice, sino por el inmenso trabajo desarrollado por ambos posteriormente en este campo y la enorme influencia que han ejercido en la comunidad científica dedicada a estas disciplinas.

Fuente: Óscar García-Prada

Reinas, conspiraciones y cifrados

El 15 de octubre de 1586 se juzgaba a María Estuardo, reina de Escocia, por traición. Había sido acusada de conspirar para asesinar a su prima, la reina Isabel I de Inglaterra y hacerse con la corona inglesa. Sir Francis Walsingham, el secretario principal de Isabel ya había arrestado a Babington y a los cómplices que iban a llevar a cabo la acción. Fueron llevados a Londres y según relata el historiador William Camden: los acuchillaron por todas partes, les cortaron sus partes privadas, les sacaron las entrañas en vivo y haciéndoles mirar, y fueron cuarteados. Ahora, planeaba demostrar que María era igualmente culpable y merecedora de la muerte.

Por otro lado, para Isabel era importante deshacerse de María, pues era una peligrosa rival en la cuestión sucesoria: era bisnieta de Enrique VII, convirtiéndose en la heredera de la corona inglesa si Isabel no tenía descendencia. Como era escocesa, muchos cuestionaban si un tribunal inglés tenía autoridad para ejecutar a una cabeza de estado extranjero. Además, podría sentar un precedente incómodo: si al Estado le estaba permitido matar una reina, entonces, los rebeldes podrían tener menos reservas para matar otra reina que podría ser la misma Isabel. En resumidas cuentas, Isabel sólo aprobaría la ejecución si Walsingham podía probar más allá de toda duda que María había tomado parte en la conspiración.

En realidad, era la cabecilla de la trama. Eso se sabía, pero no se había encontrado ninguna conexión con Babington y el resto de conspiradores. En los casos de traición, al acusado no se le permitía tener abogado ni podía llamar a testigos. Pero María estaba tranquila, pues toda la correspondencia que había tenido con Babington la había cifrado. Su defensa principal era negar toda conexión con él. Si no podían descifrar aquellas cartas, nunca podrían ser utilizadas en su contra, así que su vida dependía de que su cifra no pudiera ser descifrada. ¿Había descifrado Walsingham sus cartas? ¿Podía hacerse una cosa así?

Una de las formas de cifrar un mensaje, y la utilizada por María, es el Cifrado César (en realidad es el de sustitución simple, pues el del César era un desplazamiento entre el texto y el cifrado de tres letras de distancia, pero para el caso que nos ocupa, es irrelevante). Dado un texto, cambiamos una letra por otra y esto se repite para todas las letras. Así, transformamos un mensaje:

Ahora, hemos de ponernos de acuerdo en cómo cambiamos ese alfabeto y para ello, utilizaremos una clave. Por ejemplo, supongamos que es JULIUS CAESAR. En primer lugar, hay que eliminar las letras repetidas (JULISCAER) y el alfabeto cambia de esta manera:

Por ejemplo, si queremos cifrar “Historias de la Ciencia”, tendremos “ERGHZFRJG IS WJ LRSYLRJ”. Durante mucho tiempo se pensó que una cosa así era totalmente indescifrable. Hasta que un tal Al Kindi, autor de 290 libros en los que hablaba de medicina, astronomía, matemáticas, lingüística y música, explicó cómo podría hacerse:

Una manera de resolver un mensaje cifrado, si sabemos en qué lengua está escrito, es encontrar un texto llano diferente escrito en la misma lengua y que sea lo suficientemente largo para llenar alrededor de una hoja, y luego contar cuántas veces aparece cada letra. A la letra que aparece con más frecuencia la llamamos “primera”, a la siguiente en frecuencia la llamamos “segunda”, a la siguiente “tercera” y así sucesivamente, hasta que hayamos cubierto todas las letras que aparecen en el texto llano.

Luego observamos el texto cifrado que queremos resolver y clasificamos sus símbolos de la misma manera. Encontramos el símbolo que aparece con más frecuencia y lo sustituimos con la forma de la letra “primera” de la muestra de texto llano, el siguiente símbolo más corriente lo sustituimos por la forma “segunda”, y el siguiente en frecuencia lo cambiamos por la forma “tercera”, y así sucesivamente, hasta que hayamos cubierto todos los símbolos del criptograma que queremos resolver.

Por supuesto, esto depende de la lengua en la que esté codificado el mensaje: no es lo mismo el porcentaje de veces que aparece una determinada letra en un idioma que en otro. Aquí os muestro las frecuencias de aparición de las diferentes letras en castellano.

Una vez que tuviéramos un gráfico similar pero del texto cifrado, lo compararíamos con el anterior y lo desplazaríamos hasta que coincidiera, o buscaríamos la letra más utilizada y la cambiaríamos por una “e”, etc. Con un par de letras deducidas así, continuaríamos un poco a base de prueba y error y al ver una palabra averiguaríamos más letras que nos darían más palabras. Al cabo de poco tiempo tendríamos el mensaje descifrado.

Hay que decir que hay excepciones en caso de ser frases algo escogidas. Por ejemplo: “De Zanzíbar a Zambia y Zaire, las zonas del ozono hacen que las cebras zigzagueen”. Frases como estas harían que descubrir el mensaje fuera más dificultoso. Hemos de suponer, por tanto, que los textos más extensos siguen los patrones más generales. Pero hasta aquí hay excepciones. En 1969, el autor francés Georges Perec escribió La Disparition, una novela de 200 páginas en las que no utilizó ni una palabra que tuviera la letra “e”. Y la cosa se pone más interesante porque el novelista y crítico inglés Gilbert Adair la tradujo al inglés (A Void) también sin utilizar la letra “e”. Y atención que esta letra es la más utilizada en el alfabeto inglés. Descifrar una cosa así tendría una dificultad añadida.

También podríamos utilizar lo que modernamente se hace con los SMS. Por ejemplo, si codificamos: Ezto tyenne ell hefezto dhe dyztorrcihonarr hel hekilyvrio deh laas frhekuenzyas, nos veremos en serios problemas. No obstante, descartemos esas excepciones.

Una vez que hemos deducido las letras más utilizadas pueden hacerse análisis de vocales que vayan después de consonantes y cosas así. Por ejemplo, después de una “q” en castellano sólo puede ir una “u”, sin embargo, la letra “p” es mucho más amistosa porque, aparte de las vocales, pueden ir otras consonantes.

Dicho esto, volvamos con la historia entre María e Isabel. Walsingham era una figura maquiavélica, jefe del espionaje, que había reclutado a un tal Gifford como espía. Le había ordenado que se presentara en la embajada francesa y se ofreciera como mensajero. Cada vez que Gifford recibía un mensaje de o para María, primero se lo llevaba a Walsingham, quien rompía el sello de lacre, hacía una copia y lo volvía a lacrar. De este modo, el mensaje original, llegaba a su destino sin que el destinatario sospechara nada.

La primera vez que Gifford entregó a Walsingham una carta de Babington dirigida a María, su primer objetivo fue descifrarla. Walsingham había descubierto el criptoanálisis en un libro escrito por Gerolamo Cardano que le había despertado el interés, pero no había visto su potencial estratégico. De hecho, lo que realmente le despertó el interés fue una carta enviada por Felipe II a su hermanastro Juan de Austria. La correspondencia siempre iba codificada. En ella describía un plan para invadir Inglaterra. La carta fue interceptada por Guillermo de Orange, quien se la pasó a Marnix, su secretario de cifras quien, a su vez, la descifró informando a Daniel Rogers, un agente inglés que trabajaba en Europa. Este último avisó a Walsingham.

Los ingleses reforzaron sus defensas, lo que fue suficiente para detener la invasión. Consciente ahora del potencial del criptoanálisis, Walsingham creó una escuela de cifras en Londres y nombró secretario a Thomas Phelippes, un hombre “de poca estatura, muy delgado, con el pelo rubio oscuro en la cabeza y rubio claro en la barba, con la cara comida por la viruela, corto de vista, con apariencia de tener unos treinta años”. Pues bien, este hombre que, a primera vista nadie hubiera dado nada por él, hablaba francés, italiano, español, latín y alemán. Y lo más importante: era uno de los mejores criptoanalistas de Europa.

Aunque la confianza de María en su cifrado era absoluta, poca cosa tenía que hacer ante un experto como Phelippes. Siempre que este último recibía un mensaje para María, lo devoraba aplicando el método de las frecuencias. Era cuestión de tiempo. Cuando Phelippes descifró el primer mensaje de Babington dirigida a María y se lo entregó a Walsingham, este podía haberse abalanzado sobre ella, pero prefirió esperar a que esta última escribiera otro autoinculpándose. Y efectivamente, María respondió explicando explícitamente el plan.

Walsingham ya conocía el plan, pero ni aun así estaba satisfecho, así que pidió a Phelippes que falsificara una posdata en la carta de María a Babington tentándole a dar nombres. Y es que, esa era otra de las habilidades de Phelippes: “escribir con la letra de cualquiera, con sólo haberla visto una vez, como si la persona misma la hubiera escrito”. Y cayeron. Al descifrar el siguiente mensaje para Walsingham añadió el signo de la horca: Π. El tribunal de la inquisición recomendó la pena de muerte para María.

En su ejecución, los verdugos solicitaron su perdón y ella replicó: “Os perdono de todo corazón, porque ahora confío en que pondréis fin a todos mis pesares”. Cuando la decapitaron, su perro que se había deslizado bajo sus ropas, sólo pudo ser arrancado a la fuerza y después que lo dejaran, volvió y según cuenta Richard Wingfield en su “Narración de los últimos días de la reina de Escocia”: yació entre la cabeza y los hombros de ella, algo anotado con diligencia.

Curiosamente, el mismo año, Vigenère había publicado su Traicté des Chiffres. Si María hubiera conocido el Cifrado de Vigenère, seguramente ni un experto como Phelippes la hubiera podido descifrar. Dicha cifra resultaba inexpugnable para un análisis de frecuencia ya que una misma letra cifrada podía representar diferentes en el texto llano y viceversa. Pero dejaremos el cifrado de Vigenère para otra historia.

María fue sepultada inicialmente en la catedral de Peterborough, pero en 1612 sus restos fueron exhumados por orden de su hijo, el rey Jacobo I de Inglaterra, quien la enterró en la Abadía de Westminster. Y allí está, a solamente 9 m del sepulcro de Isabel.

Fuente: Historiasdelaciencia.com

Filatelia Matemática

La filatelia, -según la RAE- es la afición por estudiar y coleccionar todo tipo de sellos de correos (estampillas). Me confieso filatelista, pues guardo celosamente una colección de estampillas adquiridas desde la época de juventud de mi padre (también ex-coleccionista). Pero bueno, esta introducción era para mencionar una página que encontré, en la que se muestra una colección de más de 400 estampillas relacionadas a la matemática, entre ellas podemos encontrar a Galois, Gauss, Abel, Poincaré y diversos matemáticos famosos, así como también algunas figuras, ecuaciones, etc.

La página es: http://jeff560.tripod.com/stamps.html

Podemos destacar la estampilla de la imagen, la cual conmemora el 250 aniversario de la Arithmetika Horvatszka, el primer libro de aritmética en el idioma croata.

Descifran el "código oculto" de Platón

Un profesor británico asegura haber descubierto los mensajes secretos contra la religión griega y a favor de la ciencia, escondidos en los escritos del filósofo

El filósofo griego Platón, nacido cuatro siglos antes de Cristo y considerado uno de los fundadores del pensamiento y la ciencia occidentales, dejó una buena cantidad de libros y escritos. Durante mucho tiempo, historiadores y científicos discutieron sobre la existencia del llamado “Código de Platón”, unos mensajes secretos en los textos del erudito, posiblemente realizados para comunicar sus ideas científicas sin ser considerado un hereje por sus coetáneos, ya que consideraba que las matemáticas controlaban el Universo y no los dioses. En los últimos años, muchos especialistas negaron la existencia de este sistema cifrado, pero un historiador de la Universidad de Manchester, el profesor Jay Kennedy, asegura tener la clave del misterio. «Existe y es un verdadero descubrimiento, no una reinterpretación» de los escritos del filósofo, asegura.

“El resultado fue sorprendente; como abrir una tumba y buscar una serie de evangelios escritos por el mismo Jesucristo”, asegura Kennedy, cuyos descubrimientos aparecen publicados en la revista Aperion. Según la Universidad de Manchester, el hallazgo puede revolucionar la historia de los orígenes del pensamiento occidental.

Al parecer, Platón utilizó un código regular de símbolos, heredados de los antiguos seguidores de Pitágoras, para dar a sus libros una estructura musical. Un siglo antes, Pitágoras había escrito que los planetas y las estrellas hacen una música inaudible, una «armonía de las esferas», que Platón pretendía imitar en sus libros. Después de cinco años de estudio, el doctor Kennedy encontró que uno de los libros más conocidos de Platón, La República, tiene grupos de palabras relacionadas con la música después de cada duodécima parte del texto. Este patrón regular representa las doce notas en la escala musical griega. Algunas son armónicas, otras disonantes. En las armónicas, el autor describía sonidos asociados con el amor o la risa, mientras que en las disonantes se refería a la guerra o la muerte.

Amenaza a la religión

El especialista señala que Platón no se tomó todo este trabajo por puro placer, sino «por su propia seguridad». Las ideas de Platón suponían una importante amenaza para la religión griega. Los códigos secretos muestran que el genial filósofo anticipó a la Revolución Científica 2.000 años antes de Isaac Newton, descubriendo su idea más importante, y es que las leyes de la Naturaleza están escritas en el lenguaje de las matemáticas.

«Este es el comienzo de algo grande. Hará falta una generación para conocer sus consecuencias. Las dos mil páginas contienen símbolos sin detectar», asegura Kennedy. Los mensajes decodificados también implican una sorprendente manera de unir ciencia y religión. Según Platón, descubrir el orden científico de la Naturaleza es estar cada vez más cerca de Dios, lo que parece poner fin a la guerra entre ciencia y religión antes de que ésta comenzara.

Algunas de las ideas revolucionarias de Platón

• Si esperamos que las mujeres hagan el mismo trabajo que los hombres, debemos enseñarles las mismas cosas.

• La ignorancia es la raíz de todo mal.
• Sólo los muertos han visto el final de la guerra.
• El precio que los hombres buenos pagan por su indiferencia hacia los asuntos públicos es ser gobernados por hombres malvados.
• Los sabios hablan porque tienen algo que decir; los tontos, porque tienen que decir algo.

Fuente: Axxón.