Michael Mobius

El teorema del índice de Atiyah-Singer

2010-08-16T09:38:00.000-07:00

Gran parte de los modelos matemáticos que describen las leyes de la naturaleza vienen formulados en términos de ecuaciones diferenciales. En general, resulta muy difícil, a veces imposible, encontrar soluciones explícitas a una determinada ecuación diferencial, siendo más razonable preguntarse cuántas soluciones existen (suponiendo que exista alguna). Pues bien, el teorema del índice de Atiyah y Singer, aparecido hace más de cuatro décadas y por el que ambos autores han recibido el Premio Abel 2004, da una respuesta a esta pregunta para una clase muy amplia de ecuaciones diferenciales.

El teorema proporciona una fórmula que determina el número de soluciones en función exclusivamente de la topología o forma del espacio en el que el modelo tiene lugar. Se trata de un resultado muy profundo, en el que se combinan ramas de las matemáticas tan diversas y fundamentales como el análisis, la topología y la geometría, contando con un sinnumero de importantes aplicaciones a todas estas disciplinas, y más recientemente a la física cuántica de partículas.

Creado por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII, el análisis matemático se ocupa del estudio de las funciones en un determinado espacio, así como de sus derivadas e integrales. Éstos son los ingredientes esenciales para el estudio de las ecuaciones diferenciales, ecuaciones que establecen relaciones entre las derivadas de una o varias funciones. Las ecuaciones diferenciales proporcionan una potentísima herramienta para describir los fenómenos estudiados por las ciencias naturales, particularmente por la física. Las leyes de Newton de la gravedad, el movimiento de los fluidos, la teoría de la relatividad de Einstein, los diversos modelos del universo y de las interacciones entre partículas elementales, todos vienen descritos mediante ecuaciones diferenciales.

La topología y la geometría son dos disciplinas matemáticas que, como el análisis, son esenciales en el teorema del índice de Atiyah-Singer. La topología de un espacio tiene que ver con la forma de ese espacio en un sentido mas básico y crudo que el de la geometría. Dos espacios tienen la misma topología si uno puede deformarse en el otro -como si de figuras de plastilina se tratase- sin producir agujeros o rasgaduras. Por otro lado, siempre que hablamos de distancias, ángulos, rectas o planos estamos hablando de geometría. Por ejemplo, las superficies de un balón de fútbol y de un balón de rugby son topológicamente indistinguibles, a pesar de ser bien distintas geométricamente, como pone de manifiesto la distinta manera en que se curvan sus respectivas líneas meridianas.

Los aspectos topológicos más relevantes para el teorema del índice tienen más que ver con las propiedades globales de un espacio que con sus propiedades locales, confinadas éstas últimas a un entorno. Un ejemplo de propiedad global lo proporcionan las superficies cerradas, esto es, superficies sin borde, que, como la esfera, pueden encontrarse en el espacio ordinario tridimensional. Resulta que una superficie de este tipo se puede deformar siempre topológicamente a una esfera con un número determinado de asas. Por ejemplo, la superficie de una rosquilla es equivalente a una esfera con un asa. Así pues, el número de asas es una propiedad global que caracteriza a la superficie topológicamente.

El espacio en el que se define un modelo matemático puede ser más o menos complicado, dependiendo del fenómeno que se desea describir, pudiendo tener cualquier dimensión en general. En los modelos físicos, por ejemplo, se puede considerar el espacio-tiempo usual o incluso un espacio-tiempo en el que en cada punto el observador está equipado de un espacio interno adicional que le permite medir determinadas propiedades físicas, como la masa, la carga, o el espín de una partícula.

Por ejemplo, en la teoría de Yang-Mills que describe la física de las partículas elementales, este espacio interno es un objeto algebraico denominado grupo de Lie. Si el grupo considerado es la circunferencia, vista como el grupo de rotaciones de un plano, la teoría de Yang-Mills coincide con el modelo de Maxwell del electromagnetismo, que explica fenómenos naturales como los rayos de las tormentas o los imanes.

Otras fuerzas fundamentales de la naturaleza, relevantes en los fenómenos cuánticos a pequeña escala, son la interacción débil y la interacción fuerte. Estas fuerzas, que tienen lugar en los núcleos de los átomos, y que son responsables en gran medida de la estabilidad de la materia, vienen descritas considerando otros grupos de Lie.

Pues bien, después de estas ideas preliminares, podemos ya enunciar el teorema del índice, aunque sea de un modo aproximado. Supongamos que tenemos un modelo matemático definido por una ecuación diferencial. El índice es esencialmente el número de soluciones de la ecuación. Más precisamente, éste se define como la diferencia entre el numero de parámetros necesarios para describir todas las soluciones y el número de relaciones impuestas por la ecuación diferencial.

Por supuesto, para que esta definición tenga sentido, ambos números deben ser finitos, propiedad que cumplen precisamente las ecuaciones a las que se aplica el teorema -ecuaciones diferenciales lineales elípticas-. La fórmula de Atiyah-Singer expresa el índice en función de determinadas cantidades denominadas clases características, que sólo dependen de la topología del espacio sobre el que está definido el modelo. Por ejemplo, en muchos problemas definidos sobre una superficie cerrada como las descritas anteriormente el índice viene dado en función del número de asas de la superficie (la única clase característica en este caso).

Éste es precisamente el contexto del teorema de Gauss-Bonnet que expresa la curvatura total de una superficie (una noción de naturaleza geométrica) en función del número de asas de la misma, o el teorema de Riemann-Roch que relaciona la teoría de funciones holomorfas sobre una superficie de Riemann (una teoría analítica) con el número de asas de la superficie. Estos son dos importantes teoremas del siglo XIX, entre los muchos resultados que generaliza el teorema de Atiyah-Singer.

Como es lógico imaginar, debido a su profundidad, el teorema del índice no es de fácil demostración. No obstante, a lo largo de los años se han dado varias demostraciones que, junto con las proporcionadas originalmente por Atiyah y Singer, han hecho cada vez más transparente el teorema. Algunas demostraciones son topológicas, otras son de carácter analítico, como la basada en la ecuación de conducción del calor.

Más recientemente se ha dado una demostración basada en la física cuántica, más concretamente, en la noción de supersimetría. Es bien sabido que los principios de simetría son fundamentales en física, por ejemplo las teorías de Yang-Mills, mencionadas anteriormente, gozan de una simetría muy importante: la invariancia gauge, que viene implementada precisamente por el grupo de Lie de la teoría. En los últimos años los físicos han descubierto otra simetría que la teoría debe satisfacer. Esta simetría, denominada supersimetría, intercambia bosones (partículas con espín entero, como los fotones) con fermiones (partículas con espín semientero, como los electrones).

Algunas de las recientes aplicaciones del teorema del índice vienen marcadas por esta importante conexión con la física. Entre éstas cabe mencionar el estudio de las anomalías de una teoría cuántica (la violación de determinadas simetrías de la teoría clásica al pasar a la teoría cuántica), o el intento de caracterización topológica de espacios de dimensión cuatro (la dimensión del espacio-tiempo de la física) utilizando el espacio de soluciones (instantones) de la ecuación de Yang-Mills definidas sobre el espacio original.

En conclusión, el teorema del índice no sólo ha cambiado el panorama de las matemáticas de las últimas décadas sino que además ha contribuido de manera muy especial al establecimiento de importantes y profundas conexiones entre diversas ramas de las matemáticas -particularmente la geometría y la topología-, así como de la física cuántica. Atiyah y Singer son sin lugar a dudas dos de los máximos responsables de esta rica y fructífera interacción, no sólo por el teorema del índice, sino por el inmenso trabajo desarrollado por ambos posteriormente en este campo y la enorme influencia que han ejercido en la comunidad científica dedicada a estas disciplinas.

Fuente: Óscar García-Prada

Reinas, conspiraciones y cifrados

2010-08-07T16:38:00.000-07:00

El 15 de octubre de 1586 se juzgaba a María Estuardo, reina de Escocia, por traición. Había sido acusada de conspirar para asesinar a su prima, la reina Isabel I de Inglaterra y hacerse con la corona inglesa. Sir Francis Walsingham, el secretario principal de Isabel ya había arrestado a Babington y a los cómplices que iban a llevar a cabo la acción. Fueron llevados a Londres y según relata el historiador William Camden: los acuchillaron por todas partes, les cortaron sus partes privadas, les sacaron las entrañas en vivo y haciéndoles mirar, y fueron cuarteados. Ahora, planeaba demostrar que María era igualmente culpable y merecedora de la muerte.

Por otro lado, para Isabel era importante deshacerse de María, pues era una peligrosa rival en la cuestión sucesoria: era bisnieta de Enrique VII, convirtiéndose en la heredera de la corona inglesa si Isabel no tenía descendencia. Como era escocesa, muchos cuestionaban si un tribunal inglés tenía autoridad para ejecutar a una cabeza de estado extranjero. Además, podría sentar un precedente incómodo: si al Estado le estaba permitido matar una reina, entonces, los rebeldes podrían tener menos reservas para matar otra reina que podría ser la misma Isabel. En resumidas cuentas, Isabel sólo aprobaría la ejecución si Walsingham podía probar más allá de toda duda que María había tomado parte en la conspiración.

En realidad, era la cabecilla de la trama. Eso se sabía, pero no se había encontrado ninguna conexión con Babington y el resto de conspiradores. En los casos de traición, al acusado no se le permitía tener abogado ni podía llamar a testigos. Pero María estaba tranquila, pues toda la correspondencia que había tenido con Babington la había cifrado. Su defensa principal era negar toda conexión con él. Si no podían descifrar aquellas cartas, nunca podrían ser utilizadas en su contra, así que su vida dependía de que su cifra no pudiera ser descifrada. ¿Había descifrado Walsingham sus cartas? ¿Podía hacerse una cosa así?

Una de las formas de cifrar un mensaje, y la utilizada por María, es el Cifrado César (en realidad es el de sustitución simple, pues el del César era un desplazamiento entre el texto y el cifrado de tres letras de distancia, pero para el caso que nos ocupa, es irrelevante). Dado un texto, cambiamos una letra por otra y esto se repite para todas las letras. Así, transformamos un mensaje:

Ahora, hemos de ponernos de acuerdo en cómo cambiamos ese alfabeto y para ello, utilizaremos una clave. Por ejemplo, supongamos que es JULIUS CAESAR. En primer lugar, hay que eliminar las letras repetidas (JULISCAER) y el alfabeto cambia de esta manera:

Por ejemplo, si queremos cifrar “Historias de la Ciencia”, tendremos “ERGHZFRJG IS WJ LRSYLRJ”. Durante mucho tiempo se pensó que una cosa así era totalmente indescifrable. Hasta que un tal Al Kindi, autor de 290 libros en los que hablaba de medicina, astronomía, matemáticas, lingüística y música, explicó cómo podría hacerse:

Una manera de resolver un mensaje cifrado, si sabemos en qué lengua está escrito, es encontrar un texto llano diferente escrito en la misma lengua y que sea lo suficientemente largo para llenar alrededor de una hoja, y luego contar cuántas veces aparece cada letra. A la letra que aparece con más frecuencia la llamamos “primera”, a la siguiente en frecuencia la llamamos “segunda”, a la siguiente “tercera” y así sucesivamente, hasta que hayamos cubierto todas las letras que aparecen en el texto llano.

Luego observamos el texto cifrado que queremos resolver y clasificamos sus símbolos de la misma manera. Encontramos el símbolo que aparece con más frecuencia y lo sustituimos con la forma de la letra “primera” de la muestra de texto llano, el siguiente símbolo más corriente lo sustituimos por la forma “segunda”, y el siguiente en frecuencia lo cambiamos por la forma “tercera”, y así sucesivamente, hasta que hayamos cubierto todos los símbolos del criptograma que queremos resolver.

Por supuesto, esto depende de la lengua en la que esté codificado el mensaje: no es lo mismo el porcentaje de veces que aparece una determinada letra en un idioma que en otro. Aquí os muestro las frecuencias de aparición de las diferentes letras en castellano.

Una vez que tuviéramos un gráfico similar pero del texto cifrado, lo compararíamos con el anterior y lo desplazaríamos hasta que coincidiera, o buscaríamos la letra más utilizada y la cambiaríamos por una “e”, etc. Con un par de letras deducidas así, continuaríamos un poco a base de prueba y error y al ver una palabra averiguaríamos más letras que nos darían más palabras. Al cabo de poco tiempo tendríamos el mensaje descifrado.

Hay que decir que hay excepciones en caso de ser frases algo escogidas. Por ejemplo: “De Zanzíbar a Zambia y Zaire, las zonas del ozono hacen que las cebras zigzagueen”. Frases como estas harían que descubrir el mensaje fuera más dificultoso. Hemos de suponer, por tanto, que los textos más extensos siguen los patrones más generales. Pero hasta aquí hay excepciones. En 1969, el autor francés Georges Perec escribió La Disparition, una novela de 200 páginas en las que no utilizó ni una palabra que tuviera la letra “e”. Y la cosa se pone más interesante porque el novelista y crítico inglés Gilbert Adair la tradujo al inglés (A Void) también sin utilizar la letra “e”. Y atención que esta letra es la más utilizada en el alfabeto inglés. Descifrar una cosa así tendría una dificultad añadida.

También podríamos utilizar lo que modernamente se hace con los SMS. Por ejemplo, si codificamos: Ezto tyenne ell hefezto dhe dyztorrcihonarr hel hekilyvrio deh laas frhekuenzyas, nos veremos en serios problemas. No obstante, descartemos esas excepciones.

Una vez que hemos deducido las letras más utilizadas pueden hacerse análisis de vocales que vayan después de consonantes y cosas así. Por ejemplo, después de una “q” en castellano sólo puede ir una “u”, sin embargo, la letra “p” es mucho más amistosa porque, aparte de las vocales, pueden ir otras consonantes.

Dicho esto, volvamos con la historia entre María e Isabel. Walsingham era una figura maquiavélica, jefe del espionaje, que había reclutado a un tal Gifford como espía. Le había ordenado que se presentara en la embajada francesa y se ofreciera como mensajero. Cada vez que Gifford recibía un mensaje de o para María, primero se lo llevaba a Walsingham, quien rompía el sello de lacre, hacía una copia y lo volvía a lacrar. De este modo, el mensaje original, llegaba a su destino sin que el destinatario sospechara nada.

La primera vez que Gifford entregó a Walsingham una carta de Babington dirigida a María, su primer objetivo fue descifrarla. Walsingham había descubierto el criptoanálisis en un libro escrito por Gerolamo Cardano que le había despertado el interés, pero no había visto su potencial estratégico. De hecho, lo que realmente le despertó el interés fue una carta enviada por Felipe II a su hermanastro Juan de Austria. La correspondencia siempre iba codificada. En ella describía un plan para invadir Inglaterra. La carta fue interceptada por Guillermo de Orange, quien se la pasó a Marnix, su secretario de cifras quien, a su vez, la descifró informando a Daniel Rogers, un agente inglés que trabajaba en Europa. Este último avisó a Walsingham.

Los ingleses reforzaron sus defensas, lo que fue suficiente para detener la invasión. Consciente ahora del potencial del criptoanálisis, Walsingham creó una escuela de cifras en Londres y nombró secretario a Thomas Phelippes, un hombre “de poca estatura, muy delgado, con el pelo rubio oscuro en la cabeza y rubio claro en la barba, con la cara comida por la viruela, corto de vista, con apariencia de tener unos treinta años”. Pues bien, este hombre que, a primera vista nadie hubiera dado nada por él, hablaba francés, italiano, español, latín y alemán. Y lo más importante: era uno de los mejores criptoanalistas de Europa.

Aunque la confianza de María en su cifrado era absoluta, poca cosa tenía que hacer ante un experto como Phelippes. Siempre que este último recibía un mensaje para María, lo devoraba aplicando el método de las frecuencias. Era cuestión de tiempo. Cuando Phelippes descifró el primer mensaje de Babington dirigida a María y se lo entregó a Walsingham, este podía haberse abalanzado sobre ella, pero prefirió esperar a que esta última escribiera otro autoinculpándose. Y efectivamente, María respondió explicando explícitamente el plan.

Walsingham ya conocía el plan, pero ni aun así estaba satisfecho, así que pidió a Phelippes que falsificara una posdata en la carta de María a Babington tentándole a dar nombres. Y es que, esa era otra de las habilidades de Phelippes: “escribir con la letra de cualquiera, con sólo haberla visto una vez, como si la persona misma la hubiera escrito”. Y cayeron. Al descifrar el siguiente mensaje para Walsingham añadió el signo de la horca: Π. El tribunal de la inquisición recomendó la pena de muerte para María.

En su ejecución, los verdugos solicitaron su perdón y ella replicó: “Os perdono de todo corazón, porque ahora confío en que pondréis fin a todos mis pesares”. Cuando la decapitaron, su perro que se había deslizado bajo sus ropas, sólo pudo ser arrancado a la fuerza y después que lo dejaran, volvió y según cuenta Richard Wingfield en su “Narración de los últimos días de la reina de Escocia”: yació entre la cabeza y los hombros de ella, algo anotado con diligencia.

Curiosamente, el mismo año, Vigenère había publicado su Traicté des Chiffres. Si María hubiera conocido el Cifrado de Vigenère, seguramente ni un experto como Phelippes la hubiera podido descifrar. Dicha cifra resultaba inexpugnable para un análisis de frecuencia ya que una misma letra cifrada podía representar diferentes en el texto llano y viceversa. Pero dejaremos el cifrado de Vigenère para otra historia.

María fue sepultada inicialmente en la catedral de Peterborough, pero en 1612 sus restos fueron exhumados por orden de su hijo, el rey Jacobo I de Inglaterra, quien la enterró en la Abadía de Westminster. Y allí está, a solamente 9 m del sepulcro de Isabel.

Fuente: Historiasdelaciencia.com

Filatelia Matemática

2010-08-07T15:58:00.000-07:00

La filatelia, -según la RAE- es la afición por estudiar y coleccionar todo tipo de sellos de correos (estampillas). Me confieso filatelista, pues guardo celosamente una colección de estampillas adquiridas desde la época de juventud de mi padre (también ex-coleccionista). Pero bueno, esta introducción era para mencionar una página que encontré, en la que se muestra una colección de más de 400 estampillas relacionadas a la matemática, entre ellas podemos encontrar a Galois, Gauss, Abel, Poincaré y diversos matemáticos famosos, así como también algunas figuras, ecuaciones, etc.

La página es: http://jeff560.tripod.com/stamps.html

Podemos destacar la estampilla de la imagen, la cual conmemora el 250 aniversario de la Arithmetika Horvatszka, el primer libro de aritmética en el idioma croata.

Descifran el "código oculto" de Platón

2010-08-07T15:42:00.000-07:00

Un profesor británico asegura haber descubierto los mensajes secretos contra la religión griega y a favor de la ciencia, escondidos en los escritos del filósofo

El filósofo griego Platón, nacido cuatro siglos antes de Cristo y considerado uno de los fundadores del pensamiento y la ciencia occidentales, dejó una buena cantidad de libros y escritos. Durante mucho tiempo, historiadores y científicos discutieron sobre la existencia del llamado “Código de Platón”, unos mensajes secretos en los textos del erudito, posiblemente realizados para comunicar sus ideas científicas sin ser considerado un hereje por sus coetáneos, ya que consideraba que las matemáticas controlaban el Universo y no los dioses. En los últimos años, muchos especialistas negaron la existencia de este sistema cifrado, pero un historiador de la Universidad de Manchester, el profesor Jay Kennedy, asegura tener la clave del misterio. «Existe y es un verdadero descubrimiento, no una reinterpretación» de los escritos del filósofo, asegura.

“El resultado fue sorprendente; como abrir una tumba y buscar una serie de evangelios escritos por el mismo Jesucristo”, asegura Kennedy, cuyos descubrimientos aparecen publicados en la revista Aperion. Según la Universidad de Manchester, el hallazgo puede revolucionar la historia de los orígenes del pensamiento occidental.

Al parecer, Platón utilizó un código regular de símbolos, heredados de los antiguos seguidores de Pitágoras, para dar a sus libros una estructura musical. Un siglo antes, Pitágoras había escrito que los planetas y las estrellas hacen una música inaudible, una «armonía de las esferas», que Platón pretendía imitar en sus libros. Después de cinco años de estudio, el doctor Kennedy encontró que uno de los libros más conocidos de Platón, La República, tiene grupos de palabras relacionadas con la música después de cada duodécima parte del texto. Este patrón regular representa las doce notas en la escala musical griega. Algunas son armónicas, otras disonantes. En las armónicas, el autor describía sonidos asociados con el amor o la risa, mientras que en las disonantes se refería a la guerra o la muerte.

Amenaza a la religión

El especialista señala que Platón no se tomó todo este trabajo por puro placer, sino «por su propia seguridad». Las ideas de Platón suponían una importante amenaza para la religión griega. Los códigos secretos muestran que el genial filósofo anticipó a la Revolución Científica 2.000 años antes de Isaac Newton, descubriendo su idea más importante, y es que las leyes de la Naturaleza están escritas en el lenguaje de las matemáticas.

«Este es el comienzo de algo grande. Hará falta una generación para conocer sus consecuencias. Las dos mil páginas contienen símbolos sin detectar», asegura Kennedy. Los mensajes decodificados también implican una sorprendente manera de unir ciencia y religión. Según Platón, descubrir el orden científico de la Naturaleza es estar cada vez más cerca de Dios, lo que parece poner fin a la guerra entre ciencia y religión antes de que ésta comenzara.

Algunas de las ideas revolucionarias de Platón

Si esperamos que las mujeres hagan el mismo trabajo que los hombres, debemos enseñarles las mismas cosas.
La ignorancia es la raíz de todo mal.
Sólo los muertos han visto el final de la guerra.
El precio que los hombres buenos pagan por su indiferencia hacia los asuntos públicos es ser gobernados por hombres malvados.
Los sabios hablan porque tienen algo que decir; los tontos, porque tienen que decir algo.

Fuente: Axxón.

Arte Exacto (entrevista a Manuel Aroca)

2010-03-23T17:22:00.000-07:00

La cultura moderna, el arte, la música y hasta la poesía, están influidas por las matemáticas. José Manuel Aroca Hernandez-Ros, profesor de la Universidad de Valladolid, y ex presidente de la Real Sociedad de Matemática Española, nos cuenta sobre esta relación.

El doctor José Manuel Aroca fue formado inicialmente en letras. Recién al terminar el bachillerato le agarró gusto a los números. Terminó estudiando dibujo y matemáticas. Su historia personal la ha vivido muy cerca del arte: un tío suyo era amigo de Federico García Lorca y su padre era fraterno conterturlio de Ramón del Valle Inclán. A partir de esas vivencias no ha cesado de buscar la afinidad entre arte y matemáticas.

¿Cree que las matemáticas intervienen en el arte?

Intervienen claramente en la pintura renacentista, con el descubrimiento de la perspectiva. Leonardo Da Vinci y Luca Pacioli eran geómetras. Luego hay gente que ha pintado la geometría como Mondrian, y Dalí la usa en sus Cristos. Algunos puntillistas, como Seurat, lo hacen también. Pero, claro, estos ejemplos son aislados. Hay gente que intuitivamente puede representar los volúmenes sin hacer los cálculos geométricos. Aunque las proporciones utilizan la simetría, no para que los cuadros lo sean, sino para que la sensación que produzcan sea estable. Luego tenemos la arquitectura, donde son esenciales. Y a veces aparece en la poesía.

Es que el ritmo del verso es eminentemente matemático, porque es música. Hablando de música, Mozart compuso un sistema aleatorio para escribir minuetos. Tirando un dado se puede componer, y suena bien. Los músicos modernos, autores de música aleatoria, usan mucho las matemáticas.

¿En la poesía hay matemáticas?

No solamente en la métrica, donde se cuentan las sílabas, sino, incluso en poemas más recientes, que usan la geometría, en donde lo que importa es la colocación de versos para hacer dibujos, como en el caso de Apollinaire. Ejemplos hay muchos.

¿Hay algún campo del conocimiento en el que las matemáticas no estén presentes?

Kant decía que la ciencia era lo que se puede escribir usando matemáticas. Hoy, cualquier libro de ciencia, de física a economía, está escrito usando fórmulas matemáticas. Son un lenguaje que complementa los idiomas naturales, y en él se escriben la ciencia, la tecnología, la economía e incluso el derecho.

¿El derecho también?

Claro, tiene una parte lógica, y hoy se quiere sistematizar el derecho de manera que se establezcan sanciones o indemnizaciones mediante fórmulas. Esto ocurre en países desarrollados, donde se aplica una justicia automática, la cual necesita la conexión de los dos sistemas.

¿Las matemáticas han penetrado profundamente en la cultura contemporánea?

La cultura contemporánea se caracteriza por estar cada vez más matematizada. Hoy en día, las matemáticas, y más por la computadora, están entrando profundamente a la sociedad. En cualquier rama, la gente tiende a pensar siguiendo el procedimiento lógico de las matemáticas, que es la ciencia del razonamiento. Su primer principio es el orden, de tal manera que cuando se aborda un problema matemático hay que saber por dónde se empieza y cuáles son los pasos que hay que seguir a continuación. El segundo principio lo señaló Newton: si uno quiere empujar una piedra, hay que hacerlo, si no se puede, hay que partirla en trozos y empujar cada trozo. La computadora ayuda muchísimo en esto.

¿De qué manera?

La computadora es como un individuo medio tonto que suma muy de prisa, pero a la cual hay que explicarle cosas de manera muy precisa, dándole el orden, y eso lo hacen las matemáticas.

¿A qué campos de la cultura humana no han ingresado?

Probablemente en la teología. Conozco un amigo que ha intentado multiplicar la existencia de Dios usando las matemáticas, pero lo han pasado al manicomio (risas). Aunque Galileo decía que "las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo". Es que no hay rama del conocimiento que no use la cantidad, y para eso hay que contar; allí empieza todo.

¿El racionalismo es profundamente matemático?

Totalmente. Las matemáticas son las ciencias de la razón. La lógica es parte de las matemáticas, y la lógica es el lenguaje en el que se escribe la filosofía. Son un lenguaje, un método y una técnica.

¿Han cambiado el pensamiento humano?

De una manera enorme. Hace cinco siglos no se podía explicar a nadie lo que era una fracción. Igualmente, el cero es un número bastante reciente; como los números negativos. Y de la geometría de Euclides a la de ahora hay un abismo.

Los matemáticos parecen solo ocupados de su ciencia...

No crea, los matemáticos no solo nos preocupamos de los números. Yo conozco a unos matemáticos que son músicos excelentes. También buenos poetas. Bertrand Russel era filósofo y matemático, con un Nobel de Literatura.

Fuente: El Comercio �mF.

Biografía de George Dantzig

2009-11-17T09:14:00.000-08:00

George Bernard Dantzig nació el 8 de Noviembre de 1914 en Portland, Oregon, EEUU. Su padre era profesor de Matemáticas, se retiró dejando su puesto de Jefe del Departamento de Matemáticas en la Universidad de Maryland poco después de la Segunda Guerra Mundial. Su madre era una lingüista especializada en idiomas eslavos.
Dantzig estudió su carrera en la Universidad de Maryland, donde se graduó en 1936. Le disgustaba el hecho de no haber visto ni una sola aplicación en alguno de los cursos de Matemáticas que había tomado allí. Al año siguiente hizo estudios de postgrado en la escuela de Matemáticas de la Universidad de Michigan. Sin embargo, exceptuando la Estadística, le pareció que los cursos eran demasiado abstractos; tan abstractos, que él sólo deseaba una cosa: abandonar sus estudios de postgrado y conseguir un trabajo.
En 1937 Dantzig dejó Michigan para trabajar como empleado en Estadística en el Bureau of Labor Statistics. Dos años después se inscribía en Berkeley para estudiar un Doctorado en Estadística.
La historia de la tesis doctoral de Dantzig es ahora parte del anecdotario de las Matemáticas. Durante su primer año en Berkeley, se inscribió en un curso de Estadística que impartía el famoso profesor Jerzy Neymann. Este profesor tenía la costumbre de escribir en la pizarra un par de ejercicios al comenzar sus clases para que, como tarea para el hogar, fueran resueltos por sus alumnos y entregados en la clase siguiente. En una ocasión llegó tarde a una de las clases de Neymann y se encontró con dos problemas escritos en la pizarra. Supuso que eran problemas de tarea y, consecuentemente, los copió y los resolvió, aun cuando le parecieron "un poco más difíciles que los problemas ordinarios". Unos días después se los entregó a Neymann, disculpándose por haber tardado tanto. Aproximadamente seis semanas después, un domingo a las 8:00 de la mañana, Neymann llegó aporreando la puerta de Dantzig, explicándole que había escrito una introducción a uno de los artículos de Dantzig y que quería que la leyera a fin de poder enviar el artículo para su publicación. Los dos "problemas de tarea" que Dantzig había resuelto eran, en realidad, dos famosos problemas no resueltos de la Estadística. Las soluciones de estos problemas se convirtieron en su tesis doctoral, a sugerencia de Neymann.
No obstante, Dantzig no terminó su doctorado hasta 1946. Poco después del comienzo de la Segunda Guerra Mundial se unió a la Fuerza Aérea de Estados Unidos y trabajó con el Combat Analysis Branch of Statistical Control. Después de recibir su Doctorado, regresó a la Fuerza Aérea como el asesor de Matemáticas del U. S. Air Force Controller. Fue en ese trabajo donde encontró los problemas que le llevaron a hacer sus grandes descubrimientos. La Fuerza Aérea necesitaba una forma más rápida de calcular el tiempo de duración de las etapas de un programa de despliegue, entrenamiento y suministro logístico.
El profesor Dantzig centró básicamente sus desarrollos científicos, cronológicamente, en la RAND Corporation y las universidades de Berkeley y Stanford en California, con asignaciones temporales en otros centros como el IIASA en Viena. (Es gozosa la anécdota que él cuenta como la razón principal para moverse de Berkeley a Stanford, la "culpa" es de un aparcamiento de coches para los profesores en la misma puerta de su nuevo Dpto. con tal mala fortuna que este aparcamiento ya había desaparecido cuando él se incorporó a Stanford).
El trabajo de Dantzig generalizó lo hecho por el economista, ganador del Premio Nobel, Wassily Leontief. Dantzig pronto se dio cuenta de que los problemas de planeación con los que se encontraba eran demasiado complejos para las computadoras más veloces de 1947 (y aun para las de la actualidad).
Habiéndose ya establecido el problema general de Programación Lineal, fue necesario hallar soluciones en un tiempo razonable. Aquí rindió frutos la intuición geométrica de Dantzig: "Comencé observando que la región factible es un cuerpo convexo, es decir, un conjunto poliédrico. Por tanto, el proceso se podría mejorar si se hacían movimientos a lo largo de los bordes desde un punto extremo al siguiente. Sin embargo, este procedimiento parecía ser demasiado ineficiente. En tres dimensiones, la región se podía visualizar como un diamante con caras, aristas y vértices. En los casos de muchos bordes, el proceso llevaría a todo un recorrido a lo largo de ellos antes de que se pudiese alcanzar el punto de esquina óptimo del diamante".
Esta intuición llevó a la primera formulación del método simplex en el verano de 1947. El primer problema práctico que se resolvió con este método fue uno de nutrición.
El 3 de octubre de 1947 Dantzig visitó el Institute for Advanced Study donde conoció a John von Neumann, quien por entonces era considerado por muchos como el mejor Matemático del mundo. Von Neumann le habló a Dantzig sobre el trabajo conjunto que estaba realizando con Oscar Morgenstern acerca de la teoría de juegos. Fue entonces cuando Dantzig supo por primera vez del importante teorema de la dualidad.
Otro de sus grandes logros es la teoría de la dualidad, ideado conjuntamente con Fulkerson y Johnson en 1954 para resolver el paradigmático problema del Agente Viajero (resolviendo entonces problemas con 49 ciudades cuando, hoy día, mediante modernas implementaciones del método, se resuelven problemas con varios miles de ciudades y hasta un millón de nodos) es el precursor de los hoy utilísimos métodos de Branch-and Cut (Bifurcación y corte) tan utilizados en programación entera para resolver problemas de grandes dimensiones.
Muchos de los problemas a resolver mediante Programación Matemática se enmarcan en planificación dinámica a través de un horizonte temporal. Muchos de los parámetros se refieren al futuro y no se pueden determinar con exactitud. Surge entonces la programación estocástica o programación bajo incertidumbre. Esta rama, con un gran desarrollo hoy día, y un tremendo potencial para el futuro, debe su desarrollo a dos trabajos seminales que de forma independiente son debidos a los profesores E.Martin L Beale y George B. Dantzig en 1955.
Así mismo es de gran utilización su método denominado Descomposición de Dantzig- Wolfe (desarrollado conjuntamente con Philip Wolfe en 1959-1960) (cuyo dual es el método de Descomposición de Benders, tan utilizado hoy día en Programación Estocástica), para resolver problemas de programación lineal estructurados.
El libro "Linear Programming and Extensions" (1963), ha sido su gran libro de referencia durante los 42 años que median desde su publicación. Ha cerrado el ciclo de su extensa bibliografía con el libro en dos tomos "Linear Programming" (1997 y 2003), escrito conjuntamente con N. Thapa.
En 1976 el presidente Gerald Ford otorgó a Dantzig la Medalla Nacional de Ciencias, que es la presea más alta de los Estados Unidos en Ciencia. En la ceremonia en la Casa Blanca se citó a George Bernard Dantzig "por haber inventado la Programación Lineal, por haber descubierto métodos que condujeron a aplicaciones científicas y técnicas en gran escala a problemas importantes en logística, elaboración de programas, optimización de redes y al uso de las computadoras para hacer un empleo eficiente de la teoría matemática".
El profesor G. B. Dantzig no pudo conseguir el premio Nobel, pero recibió un cúmulo de distinciones, entre otras la mencionada anteriormente, el premio Von Neumann Theory en 1975, Premio en Matemáticas Aplicadas y Análisis Numérico de la National Academy of Sciences en 1977, Harvey Prize en Ciencia y Tecnología de Technion, Israel, en 1985. Fue miembro de la Academia de Ciencias y de la Academia Nacional de Ingeniería de EEUU. Las Sociedades de Programación Matemática y SIAM instituyeron hace años un premio que lleva su nombre, premio que es uno de los más prestigiosos de nuestra comunidad.
Dantzig se sorprendió de que el método simplex funcionara con tanta eficiencia. Citando de nuevo sus palabras: "La mayor parte de las ocasiones el método simplex resolvía problemas de m ecuaciones en 2m o en 3m pasos, algo realmente impresionante. En realidad nunca pensé que fuese a resultar tan eficiente. En ese entonces yo aún no había tenido experiencias con problemas en dimensiones mayores y no confiaba en mi intuición geométrica. Por ejemplo, mi intuición me decía que el procedimiento requeriría demasiados pasos de un vértice al siguiente. En la práctica son muy pocos pasos. Dicho con pocas palabras, la intuición en espacios de dimensiones mayores no es muy buena guía. Sólo ahora, 52 años después de haber propuesto el método simplex por primera vez, la gente está comenzando a tener una idea de por qué el método funciona tan bien como lo hace".
Una precisión acerca de la terminología: un simplex es un tipo especial de conjunto convexo poliédrico. Más concretamente, sean P1, P2, . . . , Pn+1 n+1 puntos (o vectores) en R. Se dice que los vectores tienen independencia afín si los n vectores P1 P2, P1 P3, . . . , P1 Pn, P1 P son linealmente independientes. Si los puntos tienen independencia afín, entonces el conjunto convexo más pequeño que contiene los n+1 puntos en se llama n-simplex. En R, tres puntos tienen independencia afín si no son colineales. El conjunto convexo más pequeño que contiene tres puntos no colineales es un triángulo con estos puntos como vértices. Por tanto, un 2-simplex es un triángulo. En R, cuatro puntos tienen independencia afín si no son coplanares. El conjunto convexo más pequeño que contiene cuatro de tales puntos es un tetraedro. Este es el 3-simplex. Los triángulos y los tetraedros son conjuntos poliédricos convexos, no obstante que los conjuntos convexos poliédricos no son necesariamente simplex. El método simplex fue llamado así por George Dantzig, aunque no está claro por qué eligió ese nombre. Habría sido más adecuado llamarlo "método del conjunto convexo poliédrico".
Por último, pero no lo último, es importante reseñar la aplicación de programación matemática que el profesor Dantzig fue desarrollando a lo largo de los años para diversos sectores industriales y de la Administración, destacando a título de ejemplo el proyecto PILOT, para una mejor planificación del sector energético y, por tanto, un mayor ahorro energético.
El 13 de Mayo de 2004, George Bernard Dantzig, murió a la edad de 90 años en su casa de Stanford debido a complicaciones con la diabetes y problemas cardiovasculares.

Los números y la vida

2009-10-12T17:10:00.000-07:00

Interesante documental de la serie redes, en el que se explica de manera clara el origen de los números y su importancia en la vida cotidiana.

Los mejores trabajos

2009-10-11T15:13:00.000-07:00

La consultora de trabajo estadounidense Careercast ha publicado recientemente un estudio sobre cuál es, hoy en día, la mejor profesión. La respuesta es sorprendente (al menos, para los profanos a la disciplina): a día de hoy la mejor profesión es la de matemático. El estudio es de gran importancia en los tiempos que corren, inmersos en una crisis galopante, y puede orientar a nuestros jóvenes para conseguir un futuro laboral adecuado.
The Mathematician (watercolour 2004), Henk A. van der Vor.

El análisis de career.cast.com ha sido recogido, entre otros medios, por el diario The Wall Street Journal. Se cuantifican varios factores de los 200 empleos, que se clasifican en lo que llaman los 5 "Core Criteria;" es decir, las categorías que son inherentes a cada trabajo: entorno laboral, ingresos, posicionamiento en el mercado laboral presente y futuro, estrés y esfuerzo físico. En http://www.careercast.com/jobs/content/JobsRated_Methodology se puede encontrar un detallado análisis de la metodología empleada, así como una buena colección de comentarios de internautas.

Esta es la lista de los 10 mejores empleos, acompañada de una breve descripción de las tareas que realizan:

1. Matemático.
Aplica teorías matemáticas y ecuaciones para enseñar o resolver problemas en finanzas, educación, industria.

2. Estadístico en seguros.
Interpreta estadísticas para determinar probabilidades de accidentes, enfermedades, muertes, pérdidas de propiedades por robos y desastres naturales.

3. Estadístico.
Tabula, analiza, e interpreta los resultados numéricos de experimentos y estudios.

4. Biólogo.
Estudia la relación entre plantas y animales con su entorno.

5. Ingeniero de Software.
Investiga, diseña, desarrolla y mantiene sistemas de software.

6. Analista de Sistemas de Computadores.
Diseña y desarrolla sistemas de computación para empresas e instituciones científicas.

7. Historiador.
Analiza y registra la información histórica de una época o de acuerdo a un área de conocimiento.

8. Sociólogo.
Estudia el comportamiento humano mediante el examen de la interacción de grupos sociales e instituciones.

9. Diseñador Industrial.
Diseña y desarrolla productos industriales.

10. Contable.
Prepara y analiza los resultados financieros de la empresa para asistir a la dirección de la misma, a la industria o al gobierno.

Tampoco están mal situados los filósofos (puesto 12), los físicos (13), los astrónomos (20), o los geológos (30).

Debemos observar que en el contexto español, los tres primeros empleos se pueden considerar en el ámbito de las matemáticas, pues los estudios de Estadística están incluidos habitualmente en esta disciplina.

En cambio, las peores profesiones serían: leñador; granjero; taxista; pescador; técnico de emergencias médicas; reparador de tejados; basurero; soldador; peón; trabajador metalúrgico. Los bomberos, los técnicos de centrales nucleares y los cuidadores infantiles también están en esta parte del ránking.

El estudio valora peor las profesiones de mayor esfuerzo y riesgo físicos; aquéllas con duras condiciones ambientales físicas –humos o compuestos tóxicos- y emocionales –alta competitividad, trato directo con el público, responsabilidad sobre otros (lo que explica la mala puntuación de los cuidadores infantiles); y con una alta tasa de paro en años recientes. También restan puntos las jornadas muy prolongadas.

Los matemáticos ‘sacan’ la mejor nota al sumar los apartados anteriores. El trabajo reconoce así que la profesión de matemático tiene y seguirá teniendo demanda en el mercado de trabajo, entre otras cosas por su versatilidad.

Como explica el Departamento de Trabajo estadounidense, un matemático puede emplearse desde en la universidad hasta en un laboratorio médico, una productora de cine, en el sector informático, financiero, farmacéutico, aeroespacial o incluso en aseguradoras, en dirección y gestión de la investigación y el desarrollo y en consultoría técnica, siendo en Estados Unidos el Gobierno, tanto Federal como el de los diferentes Estados uno de los mayores contratadores de matemáticos.

Este organismo estima en su Guía Ocupacional 2008-2009 que la demanda de matemáticos subirá en un 10% de aquí a 2016.

Para más información:

Estudio de CareersCast.com
http://www.careercast.com/jobs/jobsRated
http://www.careercast.com/jobs/content/JobsRated_Methodology

Estudio de la RSME:
http://www.rsme.es/comis/prof/RSME-ANECA.pdf

Departamento de Trabajo Estadounidense
http://stats.bls.gov/oco/ocos043.htm

Información de la Sociedad Americana de Matemáticas
http://www.ams.org/employment/whatmathematiciansdo.html

Por Manuel de León
Coordinador de SIMUMAT

Fuente: Matemáticas y sus fronteras

Nociones Geométricas

2009-10-10T14:44:00.000-07:00

Trailer

Capítulo 1

Capítulo 2

Capítulo 3

Capítulo 4

Capítulo 5

Capítulo 6

Capítulo 7

Capítulo 8

Capítulo 9

Acertijos que valen un millón de dólares

2009-10-08T22:16:00.000-07:00

El Instituto Clay eligió en el 2000 los ‘Siete Problemas del Milenio’. La resolución de cada uno se premiará con un millón de dólares.

1. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Relacionada con el último teorema de Fermat, se pregunta “en qué condiciones el número de puntos racionales sobre una curva elíptica es finito”. Bebe de la obra de Grothendieck.

2. Conjetura de Hodge
Es el más técnico. Tras corregir Grothendieck una primera versión, dice que “en una variedad algebraica proyectiva todo ciclo de Hodge es combinación lineal racional de ciclos algebraicos”.

3. Ecuaciones de Navier-Stokes
Describen el movimiento de los fluidos. Consiste en “demostrar que para ciertas condiciones iniciales, existen soluciones suaves globalmente definidas”.

4. P versus NP

Plantea la posibilidad de que “todo algoritmo de complejidad exponencial pueda reducirse a un algoritmo en tiempo polinomial”. Lo intenta resolver el protagonista de la serie ‘Numb3rs’ en las pizarras de su garaje.

5. Conjetura de Poincaré
Es el único resuelto. El ruso Grigori Perelman demostró en 2003 que “toda variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera”.

6. Hipótesis de Riemann
El más codiciado. Conjetura que “todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann caen sobre la misma recta vertical”.

7. Ecuaciones de Yang-Mills
Generalizan la teoría electromagnética de Maxwell y unifican las fuerzas de la naturaleza. El Instituto Clay propone desarrollar el aparato matemático necesario para comprenderlas.

Cerebros fuera de serie

2009-10-08T21:19:00.000-07:00

Sir Isaac Newton, el último mago

El personaje que comparte con Charles Darwin el máximo escalafón de la ciencia británica puede ser considerado el santo patrón de los matemáticos excéntricos. Sir Isaac Newton (Lincolnshire, 1643-Middlesex, 1727) prodigó sus trabajos en física, astronomía, teología, filosofía y matemáticas, disciplina en la que desarrolló, al mismo tiempo que Leibniz, el cálculo diferencial e integral, entre otras grandes aportaciones.
Pero para el economista John Keynes, Newton fue “el último de los magos”. Sus trabajos sobre ocultismo abordaron la alquimia, las profecías reveladas en la Biblia –predijo el fin del mundo para 2060–, el esoterismo, las sociedades secretas o la Atlántida.

Alan Turing, ‘hacker’ y mártir gay

En la década de 1950, la homosexualidad aún era un delito en el Reino Unido. Este prejuicio convirtió al precursor de la computación moderna en un excéntrico contra su voluntad. Alan Turing (Londres, 1912-Cheshire, 1954) ideó el test para validar la inteligencia artificial.
Durante la Segunda Guerra Mundial trabajó en Bletchley Park, el centro de criptografía del Reino Unido. Cuando se le requería para una reunión en Londres, corría 40 kilómetros hasta la ciudad. Su homosexualidad le costó el despido y cargos criminales.
Murió tras comer una manzana envenenada con cianuro, pero aún se discute si fue un suicidio teatral –’Blancanieves’ era su cuento favorito– o un asesinato.

John Nash, el Nobel alucinado
La figura de John Forbes Nash (Bluefield, EEUU, 1928) captó la atención del público a raíz de su biografía llevada al cine en ‘Una mente maravillosa’, ganadora de cuatro Oscars.

En la película, Russell Crowe interpretaba a este experto en teoría de juegos que ha luchado durante gran parte de su vida contra personajes imaginarios surgidos de su esquizofrenia paranoide. En el campo científico, desde su puesto en la Universidad de Princeton ha desarrollado aportaciones geniales que cubren desde la matemática pura a la estrategia militar, pasando por la informática o la teoría económica. En 1994 ganó el premio Nobel de Economía.

Grigori Perelman, el huraño
El ruso Grigori Perelman (Leningrado, 1966) resolvió la Conjetura de Poincaré, un problema propuesto en 1904 y que se resistió al asedio de los matemáticos durante casi un siglo. Perelman es un gran ego científico envuelto en una extrema austeridad personal. En una ocasión se negó a entregar un currículum porque juzgaba que su trabajo ya era suficientemente conocido. En 2006 rechazó la medalla Fields, el Nobel de las matemáticas, además de otros galardones y cargos de prestigio en universidades de EEUU. Vive con su madre en un humilde piso en San Petersburgo y ha dejado su puesto en el Instituto Steklov. Según algunas fuentes, ha abandonado las matemáticas.

Paul Erdös, el ‘homeless’ errante
El húngaro Paul Erdös (Budapest, 1913-Varsovia, 1996) careció de residencia durante 50 años. Cuentan sus biógrafos que se presentaba por sorpresa en casa de algún colega con una frase –”¡Mi cerebro está abierto!”– y una maleta que contenía todas sus posesiones.
Allí se dedicaba, en colaboración con su anfitrión, a escribir trabajos sobre combinatoria o teoría de números, hasta que llegaba el momento de marcharse para llamar a otra puerta. Creía en un dios al que llamaba el Fascista Supremo, porque guardaba para sí las demostraciones más bellas de los teoremas, reunidas en lo que Erdös llamaba ‘El Libro’. Adicto a las anfetaminas, donó la mayoría de sus premios a los necesitados.

Kurt Gödel, el muerto de hambre
En el elenco de científicos que han destacado por sus manías, pocos lo han llevado tan lejos como Kurt Gödel (Brno, 1906-Princeton, 1978). Nacido en la antigua Austria-Hungría, trabajó en Viena y viajó a EEUU, donde trabó amistad con Einstein. Huyó de la Alemania nazi para establecerse en la Universidad de Princeton.
Sus trabajos en teoría de conjuntos y lógica influyeron en matemáticos y filósofos. En sus últimos años no comía nada que no hubiese catado su mujer, Adele, por miedo a ser envenenado. Cuando ella no pudo hacerlo por ingresar en un hospital, Gödel dejó de comer. En el momento de su muerte por inanición, pesaba 30 kilos.

Escher y las matemáticas

2009-09-30T17:15:00.000-07:00

Escher fue un artista inusual, decidido a resolver problemas que parecían interesar más a los matemáticos que a los artistas. Tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano al arte, de mostrar como nunca antes se había visto que una superficie bidimensional es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad. Escher luchó para encontrar un mecanismo que permitiese dar la impresión de un espacio sin límites, de mundos que se transforman en otros, o en otros. Incluso podemos llegar a creer que una transformación es de lo más normal y creíble, pero cuando sucede otra a la primera y observamos el punto inicial vemos que es del todo imposible, a pesar de la sensación de normalidad que nos transmite.

Si nos introducimos en uno de sus diseños, lo cual es sumamente fácil, acabamos de entrar en otro mundo, donde todos nuestros sólidos principios son puestos en duda y sustituidos por una serie de nuevas leyes y extraños principios geométricos.

Pero no es por esto exclusivamente por lo que sus trabajos apasionan a muchos matemáticos, sino también porque en ellos subyacen una serie de conceptos matemáticos como reflexiones, simetrías, traslaciones, cuerpos platónicos, el infinito, cintas de Möebius, geometría hiperbólica, etc... Y sin embargo Escher se consideraba un lego en matemáticas.

Fuente: Jose María Alfaro Roca

Los códigos del algebrista

2009-09-27T14:52:00.000-07:00

Contestar a la pregunta casual "¿Ud. a qué se dedica?" suele plantear problemas a cualquier científico, si quiere ser breve y preciso. La más obvia de las respuestas suele apelar al diccionario; pero, en el caso del álgebra, conduce a sorpresas. La segunda acepción de algebrista, aunque la RAE la marca como desusada, dice "cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos".

Así la utilizaba Cervantes en 1615: “… llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curo el Sansón desgraciado” (Quijote II, Cáp. XV). Pero también en La madre naturaleza de 1887, Emilia Pardo Bazán relata que muchos “ejercían la profesión de algebristas, componiendo con singular destreza canillas rotas y húmeros desvencijados, reduciendo luxaciones y extirpando sarcomas”, destacando al “atador de Boán, que tenía fama de poner la ceniza en la frente a los médicos de Orense y Santiago, habiendo persona que vino expresamente desde Madrid, cuando todavía se viajaba en diligencia, a que el señor Antón le curase una fractura”. Claro que es más sorprendente la tercera acepción, reputada de germanía, alcahuete, que remite a Quevedo describiendo a la madre del Buscón, llamado don Pablos como “algebrista de voluntades desconcertadas, […] y por mal nombre alcagüeta”. Y todo ello, incluido el significado matemático que en castellano se alcanza en 1726, procede de una palabra árabe originada en Bagdad.

El matemático Muhammad ibn Musa al–Khwarizmi (ca 780-850), originario de la actual Khiva (Uzbekistán), describe, en su tratado Hisab al-yabr wa´l-muqabala como resolver ecuaciones de primero y segundo grado, trasponiendo un término negativo de un lado de la ecuación al otro lado como positivo, al-yabr, y retirando los términos iguales a ambos lados, al-muqabala. Gracias a la traducción de Robert de Chester, en Segovia el año 1145, como Liber álgebra et almuchabala, se introduce en Occidente el término álgebra, que continuaría siendo, hasta mediados del XIX, la ciencia de las ecuaciones. El termino yabr, “reducir, restablecer”, proporcionó al español, el italiano y el inglés, una acepción: arte de recomponer los huesos dislocados; y de ahí el calificativo de algebristas que empleaban los barberos medievales y la metáfora de Quevedo.

Sólo en los años 50 del pasado siglo, el grupo Bourbaki declaraba: “actualmente consideramos como el problema esencial del Álgebra el estudio de las estructuras algebraicas, por sí mismas”. Esa concepción se fue imponiendo, aumentando el nivel de abstracción hasta alcanzar incluso lo que irónicamente se llegó a denominar “abstract non-sense”. De hecho se ha dicho que son “los Picassos de las matemáticas la geometría algebraica y teoría de categorías -áreas que llevan la abstracción en matemáticas al extremo”. Pero una vez más, la irracional eficacia de las matemáticas abstractas ha producido que se empleen en lenguajes de programación, en codificación de datos y en criptografía. Si la ruptura de códigos criptográficos condujo al ordenador digital, las necesidad de códigos seguros ha impulsado fuertemente el álgebra. Pero como describía el inventor del ciberespacio, William Gibson, “eso no es más que un subproducto de lo que sea que hace con sus teorías. [El matemático] parece considerar enormemente cómico que pueda tener alguna aplicación práctica” (Pattern Recognition, 2004).

Cuando se cumplen 30 años del primer uso en España del código de barras, es poco conocido que el último dígito de cada uno de ellos es un cálculo algebraico que asegura su corrección, de modo análogo a los dígitos de control (D.C.) que incluyen los números de cuentas bancarias. Y al igual que el Código Cuenta Cliente (C.C.C.) permite detectar e incluso corregir algún error, en ocasiones de los códigos de barras se puede extraer información inesperada. El dibujante Andrés Rábago García, El Roto, publicó el día 1/noviembre/2006 una viñeta en la que, en un marco de cipreses, aparece una tumba sin nombre pero con un nítido código de barras. La irónica reflexión sugerida va desde la pérdida de identidad personal por la moderna tecnología a la mercantilización de la actividad funeraria. Prestando atención al código de barras, bajo las 30 barras leemos el número 978053319061; la verificación algebraica asegura que es un código EAN correcto, que corresponde a un libro en inglés. En esa “alucinación consensuada”, el ciberespacio, “donde no hay un donde” cualquiera encuentra inmediatamente la referencia completa: Art of the Japanese Postcard de J. Thomas Rimer, Kendall H. Brown y Anne Nishimura Morse, publicado por Lund Humphries en 2005. Es coherente que entre las lecturas de un artista gráfico se encuentre ese libro; e incluso que en su subconsciente se fije ese código que traslada a su creación. Más que la polisemia de una viñeta, nos sobrecoge la disponibilidad de datos, aquí intrascendentes, pero en otras ocasiones relevantes respecto a la intimidad personal. Como ya decía William Gibson: “ …somos una economía de información. Te lo enseñan en la escuela. Lo que no te dicen es que es imposible moverse, vivir, actuar a cualquier nivel sin dejar huellas, pedacitos, fragmentos de información en apariencia insignificantes. Fragmentos que pueden ser recuperados, amplificados.” (Burning Chrome,1986). Por eso es necesario comprender el uso y la semiótica de los códigos que nos rodean para poder defender el derecho democrático de la intimidad, sin dejarse engañar por las promesas de mayor seguridad en un mundo convulso. Al menos de forma lateral, los algebristas se dedican también a estudiar y explicar codificación, e incluso a predecir sus consecuencias.

Artículo de José María Barja

Fuente: Ibercampus

Curvas Modulares

2009-08-22T18:04:00.000-07:00

En 1955, Yutaka Taniyama conjeturó que toda curva elíptica definida sobre el cuerpo de los números racionales es modular. En 1995, Andrew Wiles demostró el teorema de Fermat probando la modularidad de ciertas curvas elípticas: las semiestables. En 2001, la conjetura de Taniyama ha sido finalmente demostrada.

Uno de los problemas abiertos que centran actualmente los esfuerzos de los investigadores en Teoría de Números y Geometría Aritmética es la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la cual asegura que muchos invariantes aritméticos de una curva elíptica se pueden “leer” en el comportamiento de cierta función analítica asociada a la curva en cuestión.

En las técnicas propuestas hasta ahora para abordar la demostración de esta conjetura, la modularidad de las curvas elípticas ha jugado siempre un papel esencial. Se trata, por cierto, de uno de los siete problemas por cuya solución el Instituto Clay ofrece un millón de dólares.

Birch Swinnerton Dyer

2009-08-22T18:00:00.001-07:00

Los matemáticos siempre han estado fascinados por el problema de describir todas las soluciones de x,y,z en ecuaciones algebraicas, como Euclides da una solución completa a esta ecuación, pero para ecuaciones más complicadas se convierte en algo extremadamente difícil.

Realmente, en 1970 Yu. V. Matiyasevich demostró que el décimo problema de Hilbert no tiene solución, por ejemplo, no existe un método general para determinar cuando estas ecuaciones tienen una solución en números enteros.
Pero en casos especiales se puede suponer que sí. Cuando las soluciones son de puntos de una variedad abeliana, la conjetura Birch y Swinnerton-Dyer dice que el tamaño del grupo de puntos racionales es relacionado con el comportamiento de la función asociada zeta z(s) cerca del punto s=1.
En particular esta increíble conjetura dice que si z(1) es igual a 0, entonces hay un numero infinito de puntos racionales (soluciones), y en oposición, si z(1) no es igual a 0, entonces hay solo un numero finito de dichos puntos.

Conocimiento Peligroso:

2009-02-16T09:23:00.000-08:00

Magnífico documental sobre la vida de 4 grandes matemáticos que ademas de la matemática tienen en común que todos se suicidaron, los matemáticos en cuestión son Georg Cantor, Ludwig Boltzmann, Kurt Gödel y Alan Turing. La hipótesis subyacente en el documental es que de alguna manera fue la extrema brillantez de estos matemáticos la que les causó en última instancia la locura y el suicidio, debido a una progresiva inmersión en el mundo matemático que estudiaban, y a la interiorización de las implicaciones filosóficas de los resultados que obtuvieron. Particularmente no estoy de acuerdo con esa hipótesis debido a que hay muchos factores que no fueron tomados en cuenta.
Los links para ver el documental son los siguientes (están en inglés):

http://www.youtube.com/watch?v=Cw-zNRNcF90 parte 1
http://www.youtube.com/watch?v=wpWXT9yMBnw parte 2
http://www.youtube.com/watch?v=1AAvWb5wYNk parte 3
http://www.youtube.com/watch?v=qUL-x8Gm1h4 parte 4
http://www.youtube.com/watch?v=So9RAbBy1ps parte 5
http://www.youtube.com/watch?v=fqKQ0-T3swY parte 6
http://www.youtube.com/watch?v=oldUAw2Aux0 parte 7
http://www.youtube.com/watch?v=0ZcErXdR_eQ parte 8
http://www.youtube.com/watch?v=BkezCyb7Lkw parte 9
http://www.youtube.com/watch?v=_8dczB1rY-Q parte 10

Yutaka Taniyama

2009-01-30T14:33:00.000-08:00

Con un futuro aparentemente brillante por delante, tanto en las matemáticas como en su vida privada (estaba planificando su matrimonio), se suicidó. En una nota que dejó, tuvo mucho cuidado en describir exactamente hasta qué punto había llegado en los cursos de cálculo y álgebra lineal que había estado impartiendo y en disculparse ante sus colegas por todo lo que su muerte les supondría. En cuanto al motivo que le llevó a quitarse la vida, explicó:

Hasta ayer, no tenía la intención definitiva de suicidarme. Más de uno debe haber notado que últimamente estoy cansado tanto física como mentalmente. Yo mismo no lo entiendo del todo, pero no es el resultado de un incidente particular, ni una cuestión específica. Simplemente quiero decir que he perdido la confianza en el futuro. Quizás mi suicidio pueda perturbar o ser un duro golpe para ciertas personas. Espero sinceramente que este incidente no ensombrezca la vida de esta persona. En cualquier caso, no puedo negar que esta es una especie de traición. Excusad mi comportamiento. Es el último acto que hago a mi manera, como he venido haciendo mi manera toda mi vida.

Un mes más tarde, Misako Suzuki, la mujer con quien se iba a casar también se suicidó dejando una nota que decía: "Nos prometimos que no importaria a dónde nos dirigiéramos, nunca nos separariamos. Ahora que se ha ido, yo también me tengo que ir a reunirme con él. "
Las ideas de Taniyama han sido objeto de críticas sin fundamento y su conducta había sido considerada en ocasiones peculiar. Goro Shimura mencionó que padecía depresión. Taniyama también menciona en la nota su preocupación de que algunos podrían ser perjudicados por el suicidio de Vargas y su esperanza del acto de no emitir "una oscura sombra sobre esa persona".

Después de la muerte de Taniyama, Goro Shimura declaró que:

Taniyama fue siempre amable con sus colegas. Fue el apoyo moral de muchos matemáticos que le conocieron y estuvieron en contacto con él, incluyendo por supuesto a mí mismo. Probablemente, nunca fue consciente del papel que estaba jugando. Aprecio su noble generosidad más ahora que cuando estaba vivo. Sin embargo nadie fue capaz de darle todo el apoyo cuando lo necesitaba desesperadamente. Me siento realmente abrumado por el dolor más amargo.

Entrevista a Serre

2009-01-27T20:09:00.000-08:00

Se cuenta que Jean Pierre Serre (1926 Bages, Francia) responde al tópico de genio matemático que, por supuesto, disfruta mucho más ante un problema estimulante que teniendo que hablar de su trabajo o haciendo vida social. Pero hay otros datos que complican esa simple descripción: Serre, descrito por sus colegas con términos como “héroe” y “maestro”, es un amante de los deportes; entre sus películas favoritas están Pulp Fiction y las de los hermanos Coen; y, sí señores, lee la saga de Harry Potter.
Pero volviendo al trabajo, no han faltado ocasiones en que Serre -con o sin disfrute— ha tenido que hablar de su trabajo. En su biografía hay siete premios científicos, entre ellos los dos de mayor prestigio en matemáticas: la medalla Fields cuando solo contaba con 28 años, y el premio Abel en 2003. Además tiene 12 doctorados Honoris Causa, el último se lo otorgó la Universidad Complutense de Madrid (25 de abril del 2006). Así que han sido varios los entrevistadores interesados por sus métodos de trabajo, sus fuentes de inspiración o sus opiniones acerca de la evolución de las matemáticas. Sus respuestas han sido, a menudo, tan concisas como éstas para InfoICM2006:

Usted, ¿ha aprendido mucho de forma autodidacta?
- Por desgracia ya no aprendo mucho más.

¿Diría que es buena la educación matemática que se imparte a los niños hoy?
- Sé muy poco sobre educación porque no tengo nietos.

¿Qué diría a un joven estudiante de matemáticas?
- Un buen estudiante no necesita consejos.

Pero otras entrevistas permiten recabar más información. En 1985 (1) dio una respuesta capaz de sublevar a más de un matemático sobre cómo animar a los chicos a estudiar matemáticas. “Mi teoría al respecto es que antes habría que desanimarles a estudiarlas; no hay necesidad de demasiados matemáticos. Pero si a pesar de eso aún insisten en hacer matemáticas, entonces realmente hay que animarles y ayudarles. Respecto a los estudiantes de Secundaria, lo principal es hacerles entender que las matemáticas existen, que no están muertas (tienden a creer que solo hay cuestiones abiertas en física, o biología).
El defecto de la enseñanza tradicional en matemáticas es que el profesor nunca menciona estas cuestiones. Es una pena.
También ha contado que cuando de adolescente aprendía matemáticas con un libro de cálculo de su madre “ni siquiera sabía que uno se podía ganar la vida siendo matemático. Solo después descubrí que a uno podían pagarle por hacer matemáticas”.
Y sobre su método de trabajo: “Bastante a menudo, realmente no tratas de resolver un problema específico con un ataque frontal. Más bien tienes algunas ideas en la cabeza que sientes que deberían ser útiles, aunque no sabes exactamente para qué. Así que miras a tu alrededor y tratas de aplicarlas. Es como tener un manojo de llaves y probarlas en varias puertas”.
Serre prefiere hablar de “pensar mucho” que de “esfuerzo”. “No es la parte consciente de la mente la que hace el trabajo”, declaró cuando le concedieron el Abel(2). Tal vez por eso suele trabajar de noche, en la cama, en la oscuridad. “Cuando estoy medio dormido. El hecho de no tener que escribir nada proporciona a la mente más capacidad de concentración”.

Matemáticas que convergen

¿Cómo han evolucionado las matemáticas en las últimas décadas?
- Es una pregunta demasiado ambiciosa. No puedo comentar ‘la evolución de las matemáticas’. Por supuesto se ha profundizado en cuestiones antiguas (por ejemplo en Teoría de Números) y han nacido otras nuevas (planteadas por ejemplo por la criptografía o la física teórica). Pero eso no es una sorpresa. Desde un punto de vista más técnico, cada vez están convergiendo más y más ramas de la matemática. Por ejemplo, quienes trabajan en Teoría Analítica de Números han empezado a usar profundos métodos de Geometría Algebraica y Representaciones de Grupos. Es muy satisfactorio, y bastante en la línea del viejo espíritu de Bourbaki sobre la unidad de ‘la matemática’.Nicolás Bourbaki es el seudónimo adoptado por un grupo de matemáticos franceses que se propuso en los años 30 revisar los fundamentos de las matemáticas. Se considera que su impacto fue enorme. El nombre de los integrantes de Bourbaki se mantuvo mucho tiempo en secreto, pero hoy se sabe que Serre fue uno de ellos desde 1949 hasta principios de los setenta. Otro dato importante de la biografía de este matemático es que parte de su trabajo resultó crucial en la demostración que hizo Andrew Wiles del famoso teorema de Fermat, en 1994.

La frontera entre matemáticas puras y aplicadas parece volverse cada vez más difusa. ¿Es correcta esta percepción?
- Yo no diría ‘difusa’. Aún hay una distinción muy marcada entre un teorema que es VERDADERO y afirmaciones que solo dan aproximaciones. Por otro lado las matemáticas aplicadas y los ordenadores pueden ayudar a cada vez más ramas de la matemática pura, sugiriendo resultados y demostrando que determinadas conjeturas son falsas.

¿Ha visto su trabajo aplicado en campos que usted no esperaba en un principio?
- No mi propio trabajo, pero sí otros muy relacionados, como las curvas elípticas (o incluso las variedades abelianas) sobre campos finitos: se usan en criptografía.
La catedrática de Álgebra en la Universidad de Barcelona, y colaboradora de Serre, Pilar Bayer, ha escrito de él(3): “Estudiar una memoria o un libro de Serre es siempre un placer; releerlos, una necesidad. La amplia visión que Serre posee de la matemática, sus resultados, sus conjeturas, sus preguntas, así como la inestimable ayuda brindada a los matemáticos en tantas ocasiones, han cristalizado en algunos de los logros más espectaculares de la matemática de los últimos años”.

Referencias:

(1) An Interview With Jean-Pierre Serre (C.T. Chong and Y.K. Leong). June 1985, Mathematical Medley (a publication of the Singapore Mathematical Society).
http://sps.nus.edu.sg/~limchuwe/articles/serre.html
(2) Interview with Jean-Pierre Serre (Martin Raussen and Christian Skau). European Mathematical Society Newsletter, September 2003.
http://www.ams.org/notices/200402/comm-serre.pdf
(3) Jean-Pierre Serre, medalla Fields (Pilar Bayer), La Gaceta.
www.rsme.es/inicio/serre.pdf

Grothendieck

2009-01-25T18:59:00.000-08:00

La fama de los matemáticos no suele salir del círculo de su profesión. Y así, mientras todo el mundo reconoce a Einstein como el mayor físico del siglo XX, casi nadie sabe citar a un sólo matemático importante. Y, peor aún, suele pensarse que son grises cabezas cuadradas con la mente llena de números.
Es una lástima, porque de todas las familias de la ciencia, la de los matemáticos es seguramente la menos gris (¡y casi diría que la que menos números tiene en la cabeza!).
Recientemente, dos matemáticos han conseguido cierta popularidad: John Nash, gracias a la película Una mente maravillosa, y Grigori Perelman, tras su negativa a recibir el verano del 2006 en Madrid la Medalla Fields (de la que siempre se dice automáticamente que es el “Nobel de las matemáticas”).
Ambos son dos matemáticos de primera fila, pero tanto sus logros como su personalidad palidecen al lado del que para mí fue, probablemente, el matemático más carismático del siglo XX: Alexandre Grothendieck.
¿Y éste quién es? He aquí lo que dice de él un reciente artículo de las Notices of the American Mathematical Society (texto aquí, continuación aquí)
El trabajo de Alexandre Grothendieck ha tenido un profundo impacto en la matemática moderna, y más ampliamente, figura entre los avances más importantes del conocimiento humano durante el siglo XX. La estatura de Grothendieck puede compararse, por ejemplo, con la de Albert Einstein. Cada uno de ellos abrió nuevas y revolucionarias perspectivas que transformaron el terreno que exploraban y cada uno buscó conexiones fundamentales y unificadoras entre los fenómenos.
y también:
Tenía una capacidad de abstracción extremadamente poderosa, casi inverosímil, que le permitía ver los problemas en un contexto sumamente general, y usaba esta capacidad con exquisita precisión
He traducido “unearthy” por “inverosímil”, pero habría sido más fiel a la etimología decir “ultraterreno”. Y quizás más fiel al personaje, a juzgar por el testimonio de un antiguo alumno suyo, Yves Ladegaillerie:
En París había tenido como profesores a algunos de los grandes matemáticos de la época, de Schwartz a Cartan, pero Grothendieck era completamente diferente, un extraterrestre. Más que traducir las cosas a otro lenguaje, el pensaba y hablaba directamente en el lenguaje de las modernas matemáticas estructurales, a cuya creación tanto había contribuido.
Grothendieck recibió en 1966, a los 38 años, la Medalla Fields. En uno de los poquísimos artículos que le ha dedicado la prensa no especializada, The Spectator le llamaba “The Einstein of maths” y decía de él que su trabajo “ha llevado a la unificación de de la geometría, la teoría de números, la topología y el análisis complejo”.
Pero ahora empieza lo realmente interesante. Con cuarenta y dos años, después de haber entregado veinticinco a las matemáticas, trabajando doce horas al día y siete días a la semana, empieza a sentir un “estancamiento espiritual”. Poco a poco va alejándose del mundo académico. Una disputa sobre la financiación militar del IHES (Institut des hautes études scientifiques) le lleva a renunciar a su plaza en este Olimpo de las matemáticas. Acaba en una Universidad de provincias (Montpellier) y cada vez dedica menos tiempo a las matemáticas y más al activismo en grupos de la contracultura de los setenta.
A partir de 1983 empieza a trabajar en Récoltes et Semailles (Cosechas y Siembras), unas extensísimas memorias que subtitula “Reflexiones y testimonios sobre un pasado de matemático”. Nadie quiere publicarlo, pero copias del manuscrito, de mil folios, pasan de mano en mano entre los matemáticos. En otra obra, La Clef des Songes (La llave de los sueños) explica su descubrimiento de Dios.
La ruptura con el establishment culminó cuando en 1988 renunció al Premio Crafoord que concede la Real Academia Sueca de Ciencias para premiar a las disciplinas que no tienen Nobel. El texto de su renuncia puede leerse completo aquí.
¿Qué ha sido de Grothendieck? He hablado de él en pasado, como si hubiera fallecido. Pero no ha fallecido. O quizá sí: lo cierto es que en 1991 desapareció. Se cree que vive solo, en un lugar aislado del Pirineo francés, y que trabaja en un manuscrito de miles de páginas sobre la física del libre albedrío y el problema del mal.
En los últimos años, algunos textos de Grothendieck han empezado a estar disponibles en la red. Un grupo de admiradores y discípulos ha creado The Grothendieck Circle. Incluso algunos de sus textos se han traducido al español. He leído algunos, y lo que entiendo de ellos es fascinante.

Fuente: pseudópodo

FLTmanía

2009-01-25T13:57:00.000-08:00

El último teorema de Fermat

2009-01-24T08:45:00.000-08:00

UN FRANCES MUERE DEJANDO UN ACERTIJO QUE OBSESIONO A LOS ESTUDIOSOS POR MAS DE TRES SIGLOS. EL ULTIMO TEOREMA DE FERMAT, EDITADO POR NORMA, SIGUE LAS PISTAS DEL ENIGMA.
En una de las páginas figura la ecuación milenaria de Pitágoras sobre los triángulos rectángulos, que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. También aparece el método para hallar triángulos con los tres lados enteros: la terna 3,4,5 es sólo la primera de una serie infinita de soluciones enteras, que la hermandad de los pitagóricos guardaba con celo.Fermat se pregunta si estas soluciones enteras todavía podrían hallarse si el exponente 2 de esa ecuación se reemplaza por un número mayor. Alrededor de 1667, en otra de estas noches idénticas, escribe en el margen de la página su conclusión negativa: No es posible, si no es mayor que 2, encontrar una solución entera para esta ecuación.A continuación agrega un comentario que habría de cambiar la historia de la matemática: He hallado una demostración verdaderamente admirable de este hecho, pero este margen es demasiado exiguo para contenerla.Fermat muere treinta años después y su hijo, que presentía la importancia de estos trabajos nocturnos, publica la Aritmética con todas las anotaciones. Los matemáticos de la época se encuentran con una multitud de afirmaciones y conjeturas, pero raramente con indicios para probarlas. Durante toda su vida, Fermat, ese fanfarrón, ese maldito francés, había preferido reservarse las demostraciones para desafiar por carta a los matemáticos ingleses a rehacerlas. Aun así se va probando, con las técnicas elementales de aquel tiempo, que una por una todas las afirmaciones de Fermat son verdaderas. Pero la ecuación generalizada de Pitágoras, como un último desafío, resiste todos los intentos y nadie puede reconstruir la demostración verdaderamente admirable que anunciaba Fermat. Euler, el genio más grande del siglo, apenas puede probar el caso n=3 y pide con desesperación al hijo de Fermat que revise entre los papeles que ha dejado su padre en busca de alguna otra huella. De generación en generación, con penosos esfuerzos y técnicas cada vez más sofisticadas, se prueban más casos particulares pero la demostración del caso general sólo parece alejarse con cada nuevo intento. Para entender esto debe recordarse que la forma de razonar de los matemáticos es algo diferente de la del resto de los científicos. Es conocida la anécdota de Stewart sobre un ingeniero, un físico y un matemático que, de viaje en tren, entran en Escocia y ven en medio de un campo una oveja negra. ¡Qué curioso!, observa el ingeniero: En Escocia las ovejas son negras. No, protesta el físico, en Escocia algunas ovejas son negras. No, no, corrige el matemático con paciencia: En Escocia hay al menos un campo que tiene al menos una oveja cuyo único lado visible desde el tren es negro. En efecto, los matemáticos son cuidadosos en sus afirmaciones y un número cualquiera de casos particulares en favor de una conjetura no basta para establecer una prueba general. Peor aún, los casos particulares resueltos iban mostrando la enorme complejidad que requeriría una demostración global. En 1847, en medio de una batalla entre Cauchy y Lamé, que creían haber llegado ambos a una solución, un trabajo fundamental de Kummer mostró que el teorema de Fermat estaba irremediablemente fuera del alcance de todas las líneas de ataque conocidas. Así, a principios del siglo XX los matemáticos serios habían dado la causa por perdida. Trescientos años después de haberse enunciado, el último teorema de Fermat se había convertido en el paradigma de lo que los matemáticos consideran un problema intratable. Y sin embargo la parte más apasionante de la historia todavía estaba por venir.Con la astucia de un novelista, Simon Singh, doctor en física del Imperial College y asesor científico del programa Horizon, de la BBC, ha escrito un libro fascinante sobre una de las más grandes hazañas del pensamiento contemporáneo, sólo comparable quizá a la formulación de Einstein de la teoría de la relatividad. El último teorema de Fermat no es sin embargo, como podría temerse, un libro de matemática. Con un equilibrio siempre piadoso, Singh logra, sin perder rigor, transmitir los desvelos y el laberinto de pasiones que hay detrás de cada fórmula exacta, desde el final dramático de la escuela de Pitágoras a la trampa político-amorosa que conduce a Galois a un duelo a muerte con el mejor tirador de Francia, desde el disfraz de hombre de Sophie de Germain para ser admitida en las universidades hasta la novela de espionaje de Alan Turing, que quiebra los códigos nazis de la máquina Enigma y muere después de la guerra, perseguido por su homosexualidad y envenenado con una manzana. En la línea principal de la historia hay, a principios del siglo XX, un paso inesperado de comedia que le da nueva vida al problema. Paul Wolfskehl, el hijo de una familia de industriales alemanes, con una gran fortuna, era también aficionado a la matemática y uno de los tantos que había intentado suerte con el teorema. En algún momento de su juventud se obsesionó con una mujer muy hermosa, que lo rechazó. El joven Wolfskehl, desesperado, planeó suicidarse, con un tiro en la cabeza que se daría estrictamente a medianoche. Pero como después de hacer todos los preparativos le sobraba todavía algún tiempo, volvió a abrir su libro de matemática con el gran cálculo de Kummer, que había establecido el muro infranqueable a los intentos del álgebra clásica y que le parecía una lectura apropiada para una ocasión tan solemne. Le pareció encontrar entonces una pequeña laguna. Se le ocurrió la idea de que Kummer tal vez se hubiera equivocado, lo que reabriría la esperanza de una demostración elemental, y estuvo haciendo hasta la madrugada cálculos febriles. Kummer, por supuesto, no se había equivocado, pero a Wolfskehl se le había pasado la hora del suicidio. Rompió las cartas de despedida de la noche anterior y rehízo su testamento. A su muerte, su familia descubrió que había legado buena parte de su fortuna para quien publicara la primera demostración completa del teorema de Fermat. El premio, que en ese momento equivalía a más de dos millones de dólares, fijaba cien años de plazo y una fecha límite: setiembre de 2007. Curiosamente, se otorgaría sólo al que demostrara que el teorema era verdadero: si alguien daba un contraejemplo no recibiría ni un Pfennig. La competencia, a pesar de la publicidad en todas las revistas de matemática y del monto enorme del premio, no generó gran interés entre los matemáticos profesionales, que conocían la verdadera cara de la ecuación detrás de su apariencia inocente. Pero sí atrajo a miles de aficionados optimistas, estudiantes incautos y toda clase de aventureros. Algunos enviaban la primera parte de una demostración y prometían la segunda si se les daba por adelantado una parte del premio. Otro ofrecía un porcentaje en las ganancias futuras por publicidad a cambio de ayuda para terminar su demostración y advertía que si no colaboraban con él enviaría su borrador a un departamento de matemáticas soviético. El profesor Landau, que era uno de los que recibía la avalancha de demostraciones erradas, decidió imprimir una tarjeta lacónica: Estimado... Muchas gracias por su manuscrito. El primer error se encuentra en la página... Esto invalida la demostración. Un colega suyo prefería devolver los manuscritos con una anotación en el margen: Tengo una refutación verdaderamente admirable de su demostración, pero este margen es demasiado exiguo para contenerla. La competencia Wolfskhel mantuvo el aura del enigma y en todos los libros de acertijos matemáticos el teorema de Fermat ocupaba el primer lugar. Gracias a uno de estos libros, El último problema, de Eric Bell, un niño de diez años leyó por primera vez sobre el enigma y concibió, en silencio, la obsesión de resolverlo. Hacia 1975 ese niño, que era Andrew Wiles, se había licenciado en Cambridge y empezaba su carrera de posgrado. Aunque no había abandonado la obsesión de su infancia, comprendía el riesgo que suponía dedicarse a un problema que había quedado fuera del centro de interés de la matemática, casi como una curiosidad histórica, y que podía arrebatarle toda su carrera sin retribuirle nada. Su supervisor, John Coates, lo convenció de que se dedicara a estudiar un campo suficientemente cercano: las llamadas curvas elípticas. Baste decir que la ecuación de Fermat puede pensarse como un caso particular de curva elíptica.Wiles se convirtió así, después de su doctorado, en otro matemático serio, profesor en Princeton, que seguía la rutina de conferencias, dirección de alumnos y publicación regular de papers. Mientras tanto, otra historia paralela se estaba incubando: en el Japón de la posguerra dos matemáticos jóvenes observaron que ciertos objetos matemáticos muy estudiados en esa época, llamados formas modulares, daban lugar a curvas elípticas, y formularon lo que se conoció con el tiempo, por sus nombres, como la conjetura de Taniyama-Shimura, que dice que toda forma modular puede ser asociada a una curva elíptica. Si esta conjetura era cierta, se abría la posibilidad de que pudieran transferirse, por paralelismo, resultados del mundo modular al mundo elíptico y viceversa.Este era el tipo de aproximación esencialmente novedoso que la matemática del siglo pasado no podría haber alumbrado: la idea de que hay conexiones profundas entre diversas áreas que se han desarrollado por separado en la matemática, con técnicas totalmente diferentes, de manera que, si se toman las debidas precauciones, resultados en un campo se pueden traducir y exportar al otro.Una tarde de 1986, mientras tomaba el té con un colega, Wiles se entera de la noticia que iba a cambiarle la vida: un especialista llamado Ken Ribet, a través de esta clase de paralelismo, había probado que si la conjetura de Taniyama-Shimura era cierta, podía deducirse también, como un corolario, el teorema de Fermat. Es decir, quienquiera que pudiese dar una demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura estaría dando al mismo tiempo una demostración del último teorema de Fermat. Para el propio Ribet, su resultado mostraba simplemente que la conjetura japonesa era tan difícil de probar, o más, que el más difícil de los teoremas. Pero Wiles se dio cuenta de que había llegado su momento: en vez de dedicarse a probar directamente el teorema de Fermat, podía ocuparse ahora de un problema mucho mejor visto en el mundo académico. Desapareció del circuito de conferencias y se encerró en su casa, durante siete años, a revisar uno por uno todos los métodos y todos los intentos históricos de demostración del teorema. Reapareció en junio de 1993, en un congreso de teoría de números en Cambridge, su ciudad natal. Todos sus colegas sospechaban que expondría resultados importantes, sobre todo cuando le asignaron la cantidad infrecuente de tres conferencias. En las dos primeras Wiles no mostró todo su juego. Aun así, los e-mail circulaban furiosamente en todas partes del mundo tratando de averiguar hasta dónde llegaría en la última. Entre los asistentes estaba Shimura pero no Taniyama: se había suicidado varios años antes, sin llegar a ver la importancia que tendría su conjetura.Para la conferencia final se había reunido una multitud infrecuente de curiosos. Un agente de apuestas recibió cinco veces en un día la extraña apuesta de que cierto antiguo teorema sería probado esa tarde y decidió, con olfato, no tomarla. No se había convocado a la prensa, pero algunos matemáticos habían llevado cámaras de fotos. En una atmósfera tensa Wiles desarrolló la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura que había preparado en el máximo secreto y escribió en el pizarrón, como última línea, el enunciado del teorema de Fermat que -todos sabían- quedaba automáticamente probado. Creo que me detendré aquí, dijo. Después de 350 años el último enigma de Fermat había sido derrotado. ¿Realmente?La foto de Wiles frente al pizarrón dio la vuelta al mundo. El The New York Times tituló: Al fin se gritó Eureka sobre un antiguo misterio matemático. Mientras tanto Wiles presentó para el examen de los expertos el manuscrito de su demostración, que tenía 200 páginas. No era la prueba que había creído tener Fermat. Sí representaba, en cambio, una síntesis asombrosa de la matemática de tres siglos, un amalgamamiento de ideas viejas y nuevas, de técnicas resucitadas y fortalecidas junto con invenciones inéditas: la confirmación de que en la matemática, como en la literatura, toda obra profunda establece con la tradición una relación mucho más intrincada y compleja que la figura más obvia de fidelidad-traición.Aun así, en el proceso de revisión, como en una película de suspenso, el monstruo se alzó por última vez y estuvo a punto de destruir a quien creía haberlo aniquilado.Este segundo final de la historia, desconocido para casi todos, fue durante más de un año un secreto embarazoso en la comunidad matemática. La reconstrucción de ese período cruzado de tensiones es una de las mejores partes del libro de Singh. Baste decir aquí que Wiles pudo finalmente reclamar el premio Wolfskehl, que -después de la devaluación del marco alemán durante la guerra- se había reducido a cincuenta mil dólares.No fue, evidentemente, esa suma lo que guió a Wiles durante su cacería de treinta años. No fue, tampoco, ninguna idea posterior de utilidad. El teorema de Fermat, como gran parte de la matemática, no sirve para ninguna de las cosas que se suelen considerar útiles y prácticas. ¿Qué es lo que anima entonces a esta hermandad que nunca dejó de ser algo secreta? Quizá la certidumbre de que sus obras son las únicas que pueden resistir todos los tiempos: que cuando las pirámides vuelvan a ser arena en el desierto y hayan pasado los hombres, seguirá siendo cierto el teorema de Pitágoras y cada uno de los teoremas. Como dice Hardy en el epígrafe que eligió Singh: Inmortalidad puede ser una palabra tonta, pero quizás un matemático tenga la mayor chance de alcanzarla, cualquier cosa que ella signifique.